2．带电质点在磁场中的运动轨迹有什么特点？

1．带电质点的圆运动半径多大？

3．解题思路及方法

电荷在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，圆运动的圆心的确定方法：

(1)利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点，只要找到圆运动两个点上的洛仑兹力的方向，其延长线的交点必为圆心。

(2)利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心。

[例题13]氘核、氚核、氦核都垂直磁场方向射入同一匀强磁场，求以下几种情况下，它们轨道半径之比及周期之比各是多少？(1)以相同速率射入磁场；(2)以相同动量射入磁场；(3)以相同动能射入磁场。

解：因为带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，所以圆运动的半径，周期。

(1)因为三粒子速率相同，所以，，有，

(2)因为三粒子动量相同，所以，，有，

(3)因为三粒子初动能相同，所以，，有，

通过例题复习基本规律。由学生完成，注意公式变换。

[例题14]如图所示，abcd为绝缘挡板围成的正方形区域，其边长为L，在这个区域内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．正、负电子分别从ab挡板中点K，沿垂直挡板ab方向射入场中，其质量为m，电量为e。若从d、P两点都有粒子射出，则正、负电子的入射速度分别为多少？(其中bP=L/4)

做题过程中要特别注意分析圆心是怎样确定的，利用哪个三角形解题。

提问：1．怎样确定圆心？2．利用哪个三角形求解？

学生自己求解。

(1)分析：若为正电子，则初态洛仑兹力方向为竖直向上，该正电子将向上偏转且由d点射出．Kd线段为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向延长线交点必为圆心，设该点为O1．其轨迹为小于1/4的圆弧。

解：如图所示，设圆运动半径为R₁，则O₁K=O₁d=R₁

由Rt△O₁da可知：

而

故

　(2)解：若为负电子，初态洛仑兹力方向竖直向下，该电子将向下偏转由P点射出，KP为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向的交点必为圆心，设该点为O₂，其轨迹为大于1/4圆弧。(如图所示)

由Rt△KbP可知：

而

故

[例题15]一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

提问：

2．带电粒子在匀强磁场中的偏转

(1)穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线(半径、速度及延长线)。偏转角由sinθ=L/R求出。侧移由R²=L²-(R-y)²解出。经历时间由得出。

注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！

(2)穿过圆形磁场区。画好辅助线(半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线)。偏角可由求出。经历时间由得出。

注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

1．带电粒子在匀强磁场中运动规律

初速度	力的特点	运动规律
v=0	f洛=0	静止
v //B	f洛=0	匀速直线运动
v⊥B	f洛=Bqv	匀速圆周运动，半径，周期
v与B成θ角	f洛=Bqv⊥(0＜θ＜90°)	较复杂的曲线运动，高中阶段不要求

3．洛伦兹力大小的计算

带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：，。

[例题11]如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场(电子质量为m，电荷为e)，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：正负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还看出经历时间相差2T/3。答案为射出点相距，时间差为。关键是找圆心、找半径和用对称。

[例题12]一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O^/，并得出半径为，；射出点坐标为(0，)。

2．洛伦兹力方向的判定

在用左手定则时，四指必须指电流方向(不是速度方向)，即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。

[例题9]磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但路端电压将小于Bdv。

在定性分析时特别需要注意的是：

(1)正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。

(2)外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv，但电动势不变(和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。)

(3)注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。

[例题10]半导体靠自由电子(带负电)和空穴(相当于带正电)导电，分为p型和n型两种。p型半导体中空穴为多数载流子；n型半导体中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电流I，用电压表比较上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。

解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n型半导体中自由电子多，上极板电势低。

注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。

1．洛伦兹力

运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。

公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力(安培力)为F_安 =BIL；其中I=nesv；设导线中共有N个自由电子N=nsL；每个电子受的磁场力为F，则F_安=NF。由以上四式可得F=qvB。条件是v与B垂直。当v与B成θ角时，F=qvBsinθ。

2．安培力大小的计算

F=BLIsinα(α为B、L间的夹角)高中只要求会计算α=0(不受安培力)和α=90°两种情况。

[例题7]如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽L。匀强磁场磁感应强度为B。金属杆长也为L ，质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I₁时，金属杆正好能静止。求：(1)B至少多大？这时B的方向如何？(2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I₂调到多大才能使金属杆保持静止？

解：画出金属杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小。根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足：BI₁L=mgsinα， B=mgsinα/I₁L。

当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得BI₂Lcosα=mgsinα，I₂=I₁/cosα。(在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系)。

[例题8]如图所示，质量为m的铜棒搭在U形导线框右端，棒长和框宽均为L，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。电键闭合后，在磁场力作用下铜棒被平抛出去，下落h后落在水平面上，水平位移为s。求闭合电键后通过铜棒的电荷量Q。

解：闭合电键后的极短时间内，铜棒受安培力向右的冲量FΔt=mv₀而被平抛出去，其中F=BIL，而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量Q=IžΔt，由平抛规律可算铜棒离开导线框时的初速度，最终可得。

讨论如下几种情况安培力的大小计算，并用左手定则对其方向进行判断。

安培力大小：F=B_⊥IL．B_⊥为磁感强度与电流方向垂直分量。

方向：左手定则(内容略)。注意安培力总是与磁场方向和电流方向决定的平面垂直(除了二者平行，安培力为0的情况)。

1．安培力方向的判定

(1)用左手定则。

(2)用“同性相斥，异性相吸”(只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时)。

(3)用“同向电流相吸，反向电流相斥”(反映了磁现象的电本质)。可以把条形磁铁等效为长直螺线管(不要把长直螺线管等效为条形磁铁)。

只要两导线不是互相垂直的，都可以用“同向电流相吸，反向电流相斥”判定相互作用的磁场力的方向；当两导线互相垂直时，用左手定则判定。

[例题3]如图所示，可以自由移动的竖直导线中通有向下的电流，不计通电导线的重力，仅在磁场力作用下，导线将如何移动？

解：先画出导线所在处的磁感线，上下两部分导线所受安培力的方向相反，使导线从左向右看顺时针转动；同时又受到竖直向上的磁场的作用而向右移动(不要说成先转90°后平移)。分析的关键是画出相关的磁感线。

[例题4]条形磁铁放在粗糙水平面上，正中的正上方有一导线，通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会　　 (增大、减小还是不变？)。水平面对磁铁的摩擦力大小为　　　 。

解：本题有多种分析方法。(1)画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线(如图中粗虚线所示)，可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩擦力。(2)画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条(如图中细虚线所示)，可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。(3)把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。

[例题5]如图在条形磁铁N极附近悬挂一个线圈，当线圈中通有逆时针方向的电流时，线圈将向哪个方向偏转？

解：用“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”最简单：条形磁铁的等效螺线管的电流在正面是向下的，与线圈中的电流方向相反，互相排斥，而左边的线圈匝数多所以线圈向右偏转。(本题如果用“同名磁极相斥，异名磁极相吸”将出现判断错误，因为那只适用于线圈位于磁铁外部的情况。)

[例题6]电视机显象管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转？

解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。(本题用其它方法判断也行，但不如这个方法简洁)。