(18)(本题满分14分)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=,

=3.

(Ⅰ)求的面积；　 　　　　　

(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。

(19)(本题满分14分)在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数.

(Ⅰ)求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；　 　　　　　

(Ⅱ)记ξ为这三个数中两数相邻的组数，(例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2)。求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.

(20)(本题满分15分)如图，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。

(I) 设是的中点，证明：平面；　 　　　　　

(II)证明：在内存在一点，使⊥平面，并求点到,的距离。

(21)(本题满分15分)已知椭圆:()的右顶点(1，0)，过的焦点且垂直长轴的弦长为1。　 　　　　　

(I) 求椭圆的方程；

(II) 设点在抛物线:上，在点P处的切线与交于点，。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值。

(22)(本题满分14分)已知函数，，其中。

(I) 设函数。若 　 　　　　　

(II)设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数()，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

(11)设等比数列的公比，前n项和为，

则_____________. 　 　　　　　

(12)若某几何体的三视图(单元：cm)如图所示，则

此几何体的体积是________.

(13)若实数x，y满足不等式组

的最小值是__________.

(14)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)。

观察下列等式：

,

,

,

,

　　　　　 ……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于n∈,_________. 　 　　　　　

(16)甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)

(17)如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_______.

(1)　　　 设U=R，

(A)　 (B)　　 (C)　　 (D)

(2)已知a、b是实数，则“a>0，b>0”是a+b>0且ab>0的

(A)充分而不必要条件　 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件　　　　 (D)既不充分也不必要条件

(3)设z=1+i(i是虚数单位)，则

(A)-1-i　　　 (B)-1+ i　　　 (C)1- i　　　　 (D)1+i

(4)在二项式的展开式中，含x⁴的项的系数是

(A)-10　　 (B)10

(C)-5　　　 (D)5

(5)在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D式侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是

(A)30⁰ 　　(B)45⁰

(C)60⁰ 　　(D)90⁰

(6)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

(A)4　　 (B)5　　 (C)6　　 (D)7 　 　　　　　

(7)设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

(A)3　 (B)4　 (C)5　 (D)6

(8)已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图像不可能是

(9)过双曲线(a＞0,b＞0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是　 　　　　　

(A)　 (B)　 (C)　 (D)

(10)对于正实数，记M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：且＞,有-(-)＜f()-f()＜(-).下列结论正确的是

(A)若

(B)

(C) 　 　　　　　

(D)＞

2009年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

非选择题部分(共100分)

(18)(本题满分14分)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=,

=3.

(Ⅰ)求的面积；　 　　　　　

(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。

(19)(本题满分14分)在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数.

(Ⅰ)求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；　 　　　　　

(Ⅱ)记ξ为这三个数中两数相邻的组数，(例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2)。求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.

(20)(本题满分15分)如图，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。

(I) 设是的中点，证明：平面；　 　　　　　

(II)证明：在内存在一点，使⊥平面，并求点到,的距离。

(21)(本题满分15分)已知椭圆:()的右顶点(1，0)，过的焦点且垂直长轴的弦长为1。　 　　　　　

(I) 求椭圆的方程；

(II) 设点在抛物线:上，在点P处的切线与交于点，。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值。

(22)(本题满分14分)已知函数，，其中。

(I) 设函数。若 　 　　　　　

(II)设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数()，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

(11)设等比数列的公比，前n项和为，

则_____________. 　 　　　　　

(12)若某几何体的三视图(单元：cm)如图所示，则

此几何体的体积是________.

(13)若实数x，y满足不等式组

的最小值是__________.

(14)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)。

观察下列等式：

,

,

,

,

　　　　　 ……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于n∈,_________. 　 　　　　　

(16)甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)

(17)如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_______.

(1)　　　 设U=R，

(A)　 (B)　　 (C)　　 (D)

(2)已知a、b是实数，则“a>0，b>0”是a+b>0且ab>0的

(A)充分而不必要条件　 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件　　　　 (D)既不充分也不必要条件

(3)设z=1+i(i是虚数单位)，则

(A)-1-i　　　 (B)-1+ i　　　 (C)1- i　　　　 (D)1+i

(4)在二项式的展开式中，含x⁴的项的系数是

(A)-10　　 (B)10

(C)-5　　　 (D)5

(5)在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D式侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是

(A)30⁰ 　　(B)45⁰

(C)60⁰ 　　(D)90⁰

(6)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

(A)4　　 (B)5　　 (C)6　　 (D)7 　 　　　　　

(7)设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

(A)3　 (B)4　 (C)5　 (D)6

(8)已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图像不可能是

(9)过双曲线(a＞0,b＞0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是　 　　　　　

(A)　 (B)　 (C)　 (D)

(10)对于正实数，记M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：且＞,有-(-)＜f()-f()＜(-).下列结论正确的是

(A)若

(B)

(C) 　 　　　　　

(D)＞

2009年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

非选择题部分(共100分)

(17)(本小题满分12分)

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

(18)(本小题满分12分)

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)。

(I)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；　 　　　

(II)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

(i)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)　 　　　

(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)　 　　　

(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)求证：AC⊥SD；　 　　　

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，　 　　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

(20)(本小题满分12分)

　 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。　 　　　

(21)(本小题满分12分)

已知函数

(I)　　　　　　　　　　 如，求的单调区间；

(II)　　　　　　　　　 若在单调增加，在单调减少，证明

＜6. 　 　　　

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

(22)本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲　 　　　

　 如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，

且。

(I)　　　　　　　　　　 证明：B,D,H,E四点共圆：

(II)　　　　　　　　　 证明：平分。　 　　　

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系于参数方程

　 已知曲线　 (t为参数)，　 　　　

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

(1)将y表示成x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？　 　　　

(13)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线的方程为_____________.

(14)已知函数y=sin(x+)(>0, -<)的图像如图所示，则　 =________________　

(15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种(用数字作答)。

(16)等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______

(17)(本小题满分12分)

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

(18)(本小题满分12分)

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)。

(I)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；　 　　　

(II)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

(i)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)　 　　　

(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)　 　　　

(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)求证：AC⊥SD；　 　　　

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，　 　　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

(20)(本小题满分12分)

　 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。　 　　　

(21)(本小题满分12分)

已知函数

(I)　　　　　　　　　　 如，求的单调区间；

(II)　　　　　　　　　 若在单调增加，在单调减少，证明

＜6. 　 　　　

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

(22)本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲　 　　　

　 如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，

且。

(I)　　　　　　　　　　 证明：B,D,H,E四点共圆：

(II)　　　　　　　　　 证明：平分。　 　　　

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系于参数方程

　 已知曲线　 (t为参数)，　 　　　

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

(1)将y表示成x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？　 　　　

(13)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线的方程为_____________.

(14)已知函数y=sin(x+)(>0, -<)的图像如图所示，则　 =________________　

(15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种(用数字作答)。

(16)等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______