13. 提示：(1)如图，AD即为所求。

(2)，理由如下：

AD平分则，又，故。

12. (1)证明：

，

∴ .

又∵ ,

∴ CF是△ACD的中线，

∴ 点F是AD的中点.

∵ 点E是AB的中点，

∴ EF∥BD,

即 EF∥BC.

(2)解：由(1)知，EF∥BD，

　　　 ∴ △AEF∽△ABD ,

　　　 ∴ .

　　 又∵ ,

　　　　 ,

　　　 ∴ 　,

　　　 ∴ ,

　　　 ∴ 的面积为8.

11. 解：⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E；　 …………………………………………………4分

(痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分)

⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形，

∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. 　……5分

∴ △CFE ∽△CAB.

∴ .…………………………………6分

∵ AC = 2 ，AB = 6，

设AD = DE = EF = FA = x，

∴ . ………………………………………………………………………………………………………7分

∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ………………………………………………………………8分

(本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分)

10. (1)∵△ABC为等腰三角形

　　　 　∴AC=BC ∠CAB=∠CBA

　　　 又∵CH为底边上的高，P为高线上的点

　　　　 ∴PA=PB

　　　　 ∴∠PAB=∠PBA

　　　　 ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB

　　　　　 ∠CBF=∠CBA-∠PBA

　　　　 ∴∠CAE=∠CBF

　 (2)∵AC=BC

　　　　　 ∠CAE=∠CBF

　　　　　 ∠ACE=∠BCF

　　　 ∴△ACE-△BCF(AAS)

　　　 ∴AE=BF

(3)若存在点P能使S_△ABC=S_△ABG，因为AE=BF，所以△ABG也是一个等腰三角形，这两个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC-△ABG，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C＜90°

9. [解] (1)，，，．

(2)四边形和四边形都是平行四边形，，，，．又，．

点是中点，．．．

又，．

8.

7.

解：(1)∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

　 ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．　 ……………2分

∴ =．(0＜＜4)　 ……………3分

(2)如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

　　 由(1)知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．　

∴ ，

∴ ． 　…………………5分

过M点作MQ⊥BC 于Q，则．　

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝．　

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．　

∴ ． AM＝MB＝2．　

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，．　

∴ 当＝2时，　 ……………………………………8分

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，　

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．　

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB．　

∴ ．

∴ ． ……………………………………………… 9分

＝．……………………10分

当2＜＜4时，．　　

∴ 当时，满足2＜＜4，．　　 ……………………11分

综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分

6. 解：(1)，，，．

点为中点，．

，．

，

，．

(2)，．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

(3)存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，

于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE,　 ∆ABE∽∆DCA

　　 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°

　　 ∴∠BAE=∠CDA

　　 又∠B=∠C=45°

　　 ∴∆ABE∽∆DCA

　　 (2)∵∆ABE∽∆DCA

　　 ∴

　　 由依题意可知CA=BA=

　　 ∴

　　 ∴m=

　　 自变量n的取值范围为1<n<2.

　　 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n

　 　　∵m=

∴m=n=

∵OB=OC=BC=1

∴OE=OD=－1

∴D(1－, 0)

∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2

∵BD+CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8

∴BD+CE=DE

(4)成立

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH

即BD+CE=DE

4. Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

　　　　　　 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°

　　　　　　 ∴△BDG≌△CEF(AAS)

　　 Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

求得

　　　　　　　　　　　　　 　由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：设正方形的边长为x，则

　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：设正方形的边长为x，

则

　　　　　　　　　　 由勾股定理得：

　　　　　　　　　　 解之得：

Ⅱb.解： 正确

　　　 由已知可知，四边形GDEF为矩形

　　　　　　　　　 ∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

　　　　　　　 　　　又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形