2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．

注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．

用什么方法求，？

回忆《数学3(必修)》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到，的计算公式为

，

其中，

由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程中，，．

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；

的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；

将称为线性回归模型．

说明：(1)产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差；

②忽略了某些因素的影响；

③存在观测误差．

　 (2)对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：

　　　 　①模型是否合理(这个问题在下一节课解决)；

　　　　 ②在模型合理的情况下，如何估计，？

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．

2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？

1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=9时的位置y的值．

时刻/s
位置观测值/cm

根据《数学(必修)》中的有关内容，解决这个问题的方法是：

先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，

可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为

12．如图2-4-6所示，长度为l、质量为m的均匀的绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段a垂于桌面下，当绳下滑全部离开桌面时，求重力所做的功．

11．如图2-4-5所示，物体质量为M，与甲乙两弹簧相连接，乙弹簧下端与地面连接，甲、乙两弹簧质量不计，其劲度系数分别为K₁和K₂，起初甲处于自由长度，现用手将弹簧的A端缓慢上提，使乙弹簧产生的弹力大小变为原来的，则物体M增加的重力势能可能是　　　　 。

10.如图2-4-4所示，质量为m的小球从高为h的斜面的A点滚下经水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达h／3高度的D点时的速度为零，此过程中物体重力做的功是多少?

9.在地面附近一个质量为5kg的物体，从零势面以上8m处下落到零势面以下2m处的过程中,重力势能的最大值是________J，重力做功是________J.(g=10m／s²)

8．质量为5千克的铜球，从离地15米高处自由下落1s后，它的重力势能是____J，重力做功________J　 (g=10m/s²　 )