2．(2010·楚雄模拟)某化学兴趣小组欲研究H₂SO₄、NaCl、KCl、Na₂CO₃、FeCl₃、NaOH的性质，对于如何研究，他们设计了两种研究方案：

　　 方案①：将它们按照酸、碱、盐分类，然后分别溶于水得到溶液，进行实验；

　　 方案②：将它们按照钠盐、钾盐、铁盐和其他化合物分类，然后分别溶于水得到溶液，进行实验。

下列说法正确的是( 　　)。

　　 A．常温时少量铜粉分别投入上述溶液中，按照方案①的分类，能够完全溶解铜粉的只有酸(H₂SO₄)溶液和盐(FeCl₃)溶液

　 　B．设计方案②的同学取某种溶液，在其中加入上述的钾盐溶液，有白色沉淀生成，再加入稀硝酸，沉淀不消失，则该溶液中可能含有Ag⁺

　　 C．按照方案①的分类，属于碱的有Na₂CO₃、NaOH

　　 D．这两组同学在研究物质时只使用了实验方法、观察法

[解析]选B。铜粉不能溶于稀硫酸，A选项错误；钾盐只有KCl，不溶于稀硝酸的白色沉淀有AgCl和BaSO₄，向溶液中加入KCl溶液和稀硝酸，产生的白色沉淀为AgCl，所以溶液中可能含有Ag⁺，B选项正确；Na₂CO₃俗名纯碱，属于盐类物质，C选项错误；这两组同学在研究物质时除了使用了实验方法、观察法外，还使用了分类的方法，D选项错误。

1．(2010·上海闸北区模拟)下列有关微粒之间关系和特征描述正确的是(　　 )。

选项	微粒	相互关系	特征描述
A	C60、C70、C540	同位素	微粒中只含非极性共价键
B	新戊烷、2，2-二甲基丙烷	同分异构体	常温常压下呈气态
C	Pt、Pt	同素异形体	铂作氨催化氧化时的催化剂
D	甲酸、硬脂酸	同系物	能发生酯化反应

[解析]选D。C₆₀、C₇₀、C₅₄₀是碳元素形成的三种不同的单质，互为同素异形体，只含有碳碳非极性共价键，A选项错误；新戊烷和2，2-二甲基丙烷是同一种物质，B选项错误；Pt和Pt的质子数都是78，中子数分别是124和120，互为同位素，C选项错误。

在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚 体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其它数学领域均有开创性的发现 　1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻 　欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》(1748)，《微分学原理》(1755)，以及《积分学原理》(1768-1770) 都成为数学中的经典著作 　欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支(如无穷级数、微分方程等)的产生 与发展奠定了基础 　欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目他计算出ξ函数在偶数点的值 他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示 　此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209... 　在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程 方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法欧拉所写的《方程的积分法研究》更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文 　在微分几何方面(微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支)，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要 的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数 ，这些符号至今仍通用此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式 　欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等 　在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分 支欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题 　欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉

1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”

历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律

欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o%，几何占18%，物理和力学占28%，天文占11%，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3%1748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理

例1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求

解：∵，∴，∴． 例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求

解：∵，，

∴，

∴．

4．欧拉示性数：

在欧拉公式中令，叫欧拉示性数

说明：(1)简单多面体的欧拉示性数．

(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．

4．欧拉定理(欧拉公式)：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：

．

证明:(方法一)

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数(剪掉面用右图中ABCDE表示)均没有变，故所有面的内角总和不变。

⑵设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.

左图中，所有面的内角总和为

＝

＝

⑶右图中，所有面的内角总和为

　　　 ＝

　⑷ ＝

整理得.

(方法二)以四面体为例来说明：

将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变　 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可

　 　对平面图形，我们来研究：

(1)去掉一条棱，就减少一个面例如去掉，就减少一个面．

同理，去掉棱、，也就各减少一个面、．

所以、的值都不变，因此的值也不变

(2)再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下

(如图)．

在此过程中的值不变，但这时面数是，

所以的值也不变

由于最后只剩下，所以，

最后加上去掉的一个面，就得到．

3.　假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V+F－E＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。

2．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？

1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V+F－E＝6+6-10=2

3.欧拉公式的探究