9．已知函数f(x)＝x3+x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3+x－16)′＝3x2+1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)+(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3+1，
∴直线l的方程为y＝(3+1)(x－x0)++x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3+1)(－x0)++x0－16，
整理得，＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3+(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2+1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3+1，
∴＝3+1，
解之得x0＝－2，
(3)∵切线与直线y＝－+3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3+1＝4，
∴x0＝±1，
∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x+1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．(2009·福建高考)若曲线f(x)＝ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax+.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即2ax+＝0有解，
∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
7．(2009·宁夏、海南高考)曲线y＝xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________________．
解析：y′＝ex+x·ex+2，y′|x＝0＝3，
∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x+1.
答案：y＝3x+1
6．(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是 ( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx
解析：设切点的横坐标为x1，x2
则存在无数对互相垂直的切线，即f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数对x1，x2使之成立
对于A由f′(x)＝ex＞0，
所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；
对于B由于f′(x)＝3x2＞0，
所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；
对于C由于f(x)＝lnx的定义域为(0，+∞)，
∴f′(x)＝＞0，
对于Df′(x)＝cosx，∴f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2，当x1＝2kπ，x2＝(2k+1)π，k∈Z，f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立．
答案：D
5.(2009·辽宁高考)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为 ( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x+2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x+1
解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2.
l：y+1＝－2(x－1)，即y＝－2x+1.
4．设f(x)＝(ax+b)sinx+(cx+d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.
解：由已知f′(x)＝[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]′
＝[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′
＝(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)·(cosx)′
＝asinx+(ax+b)cosx+ccosx－(cx+d)sinx
＝(a－cx－d)sinx+(ax+b+c)cosx.
又∵f′(x)＝xcosx，
∴必须有即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
3．(2009·安徽高考)设函数f(x)＝x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是 ( )
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
解析：∵f′(x)＝sinθ·x2+cosθ·x，
∴f′(1)＝sinθ+cosθ＝2sin(θ+)．
∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．
∴sin(θ+)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]．
2．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn+1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)＝ ( )
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
解析：∵f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(sinx)′＝cosx，…，由此可知fn(x)的值周期性重复出现，周期为4，
故f2010(x)＝f2(x)＝－cosx.
1.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( )
A．e2 B．e C. D．ln2
解析：f′(x)＝x×+1×lnx＝1+lnx，由1+lnx0＝2，
知x0＝e.
答案：B
12.(文)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：
y＝
求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.
解：(1)当6≤t＜9时，
y′＝－t2－t+36＝－(t2+4t－96)
＝－(t+12)(t－8).
令y′＝0，得t＝－12或t＝8.
∴当t＝8时，y有最大值.
ymax＝18.75(分钟).
(2)当9≤t≤10时，y＝t+是增函数，
∴当t＝10时，ymax＝15(分钟).
(3)当10＜t≤12时，y＝－3(t－11)2+18，
∴当t＝11时，ymax＝18(分钟).
综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.
(理)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利 润又是多少元？
解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100+＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－；
当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6000；
当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.
+1，
+x0－16，
，
