3.下面是中国古代某一地区居民的一份职业结构表,据此推断这种职业结构最可能出现在
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职业 |
自耕农 |
佃农 |
工场主 |
商人 |
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占人口比例 |
24% |
36% |
30% |
10% |
A.汉代江南地区 B.唐代关中地区
C.宋代太湖地区 D.明后期苏杭地区
上课伊始,古老师问:“第19题的标准解法,昨天已经发给同学们了,
请问:我上面标出的前3个问题,你们都答好了吗?”
同学们纷纷翻开那张教案,齐答:“答好了!”古老师立即作巡视检查.
古老师看了好几个同学画的图,似乎都不满意,最后在某个学生面前驻足:
“你画的图真漂亮啊,请你在黑板上也画出这个图形。”
受到老师的表扬,这个同学高兴地走上讲台,认真地画出了图1-1.
不料古老师话锋一转:“可惜有一处错误。”
刚回到座位的那位同学突然愣住,赶紧重新端详自己所画的图形,却是
一脸茫然。其他同学也是左顾右盼,没有发现图1-1与自己所画的图形有什
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古老师问:“你们认为
一定是锐角三角形吗?”
谁也没有认真考察
的形状。大家再次左顾右盼,果然发现:多数人都将
画成了锐角三角形,也有将
画成直角或钝角的.
古老师说:“这样吧,我们先寻找第(2)问的其他解法. 首先,你们有办法求出线段
和
之长吗?
学生A:“我是这样想的. :如图1-2,设
,则
.∵PQ平分
,
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不待学生A发言完毕,学生B惊叫道:“好啊,勾3,
股4,弦5.
是直角三角形!”
(许多人也恍然大悟:原来
应该是个直角。)
学生A显然不满意他的插话,横了他一眼,继续说道:
“既然
是直角三角形,说明PF2⊥F1F2.在方程
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(我们注意到:在学生A回答问题的过程中,古老师在黑板上
随时记录下他发言的要点.就好象学生A是主讲,而古老师反而是助教一样)
接着,学生C也讲了他的思路(同样,古老师也做他的‘助教’):“A同学是用双曲线第一定义做的.我以为用第二定义做也不错:由(1)双曲线的离心率e=2.∵
在双曲线上,∴![]()
(有人问道:咦,这两个这两个等式是怎么来的?学生C立即补充:∵双曲线右准线为
,根据圆锥曲线的统一定义,
.但是
.然后接着讲:)
∵PQ平分
,∴![]()
![]()
解得
.以下解法,与A同学相同.”
古老师表扬道:“同学A借助了‘形’,而同学C深挖了‘数’他们
的解法果然比标答要好.请问:还有其他的解法吗?”
同学D:“我是用平面几何的知识解的。”
“好啊!.平面几何利用图形说话,是无声的语言,妙得很呢!”古老师
兴趣盎然地鼓励他:“把你的思路讲出来吧!”
(全班同学立即将目光扫了过去.看得出大家都很感兴趣.)
同学D接着说:
“如图1-3,在
上截取
,再连结QR.
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而.
…”
“神了,
的三边长依次为
,同样满足勾股定理.也是直角三角形.”同学B乐得大叫.
(同学D却并不埋怨B抢了他的风头.笑着问:“以下怎么办哪?”)
“以下,∠PF2Q=∠PRQ=90°,∴PF2⊥F1F2,在方程
中令x=2,得y=±3. 故所求点P的坐标为
.”
“这样做法当然可以,可是没有什么新意.我既是用几何法,就索性‘几何’到底,由△F1QR∽△F1 P F2得:
.于是得P(2,3).当点P在x轴下方时,则有P(-2,3).”
学生B也实在机灵:“你的几何法未必有我的三角法好:设∠P F1F2=α,则
.于是
.”
古老师微笑着倾听他们的争执,直到问题明朗,才说:“好啊,越讲越精彩.可是对同学D这种解法,我不能评满分.”听了这句话,许多同学,特别是正得意于自己成就的同学D,又是一脸茫然.
古老师提示道:“只有知道
比
更长,才有可能在
上截取
.”
同学D马上明白了:“应该加一句:∵点P在双曲线右支,∴
>
.”
古老师点头认可.接着说:“请问还有其他的解法吗?”
欲言又止的同学E早被古老师发现了,立即望着他:“你好像有话要说.”
“我想,既然在
上截取
可以成功,那么如图1-4,将P F2
延长到R,使
,再连结QR,也应该可以成功.这算不算不同的解法?”
“当然算!.不过我相信大家都明白你的意思,那么你以下的工作,就留待
大家共同完成吧.”
最后,古老师将他的学生们着实地表扬了一顿:“今天我们看到:
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三角解法也很有创意).可以说这4种解法都比标答要好.
神奇的勾3,股4,弦5就隐藏在题目之中,这大概连命题人自己也没有想到,
可是却被我们的同学发现了,这难道还不够精彩吗?”
(我们看到,几乎全班同学都裂开嘴笑了,他们在享受自己的成功.)
“今天的课就讲到这里吧,你们知道该干什么吗?”“知道!”同学们齐声回答.
(我们一看时间,这节课还有12分钟,不禁疑惑:怎么这么早就下课了?我俏俏地问附近的一位学生:古老师让你们干什么?他说:“将今天讲的4种解法“趁热打铁”地落实下来!”)
这时教室里静静的,同学们都在那份“教案”后的空白处最后专心致志地写着,古老师只巡回检查,不时给个别学生指点着什么.
下课铃响了,我们发现:至少有半数以上的学生都交了作业.我异常纳闷:他们咋做得这么快?便悄悄地询问个中原因.他们说:“古老师早就交代我们,可以随着课堂的进展边讲边做,这样既节约时间,效果又高.”“啊,原来如此!”