(15)(本小题共13分)

解：(Ⅰ)∵()，

∴(). 　　　……………………………1分

∵，，成等差数列，

∴.　　　　　　 ………………………………………3分

∴.　　　　　　　　　 ………………………………………5分

∴.　　　　　　　　　　　 ……………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

().

∴数列为首项是，公差为1的等差数列.　　　 …………………………8分

∴.

∴.　　　　　　　　　　　　 ………………………………………10分

当时，.　　 ………………………………12分

当时，上式也成立.　　　　　　　　　　　 …………………………13分

∴().

(16)(本小题共13分)

解：(Ⅰ)该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为.………………………………2分

该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为.

　　　　　　　　　　　　 ………………………………4分

设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则　　　　 ………………………………5分

. 　　　　…………………………………6分

答：估计该间教室的空气质量合格的概率为.

(Ⅱ)由题意可知，的取值为0，1，2，3，4.　　 …………………………………7分

.

随机变量的分布列为：

	0	1	2	3	4

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………12分

解法一：

∴.　　 ………………………13分

解法二：，

∴.　　　　　　　 　　　　　　…………………………………13分

(17)(本小题共14分)

(Ⅰ)证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

　　 平面ABC. 　　　　……………………1分

平面，

.　　　　　　　 ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.　 　……………4分

平面，

　　 平面平面.　　　　 ………………………………………5分

解法一：(Ⅱ)连接，平面，

是直线在平面上的射影.　 …………………………5分

，

四边形是菱形.

.　　　　　　　　 …………………………………7分

.　　　　　　 ………………………………………9分

(Ⅲ)过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.　 ……11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.　　 ………………………13分

.

∴二面角的大小为.　　 …………………………………14分

解法二：(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得

………………………………………7分

.

　 又.

.

.　　　　　　　　　 ……………………………………9分

(Ⅲ)设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.　　　　　　　 ………………………………………12分

.　　 ………………………………………13分

二面角的大小为.　　　　　 　………………………………………14分

(18)(本小题共13分)

解：(Ⅰ)函数的定义域为．　　 …………………………………1分

.　　 ………………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，．

…………………6分

(Ⅱ)由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立．　　　　　 　　　　　　　　　………………………………………7分

若即时，

x		a+1
	-	0	+
	↘	极小值	↗

∴在上的最小值为．

则，得．　　　　　　　 …………………………………10分

若即时，在上单调递减，则在上的最小值为．

由得(舍)．　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………12分

综上所述，．　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………13分

(19)(本小题共13分)

解：(Ⅰ)由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为：，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………1分

由得.

所以，.因为， …………………………………3分

所以.

所以.即.

所以直线的方程为：或.　　　　　 ………………………………………5分

(Ⅱ)设，，则.

由得.

因为，所以，. ……………………………………7分

　 (ⅰ)设，则.

　 由题意知：∥，.

即.

　 显然　　　 ………………………………………9分

(ⅱ)由题意知：为等腰直角三角形，，即，即.

. .

.，.　　　　　　　　　　　 ………………………………………11分

　 .

即的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………13分

(20)(本小题共14分)

解：(Ⅰ)取，得，即.

因为，所以.　　　　　　　　　 　　　………………………………………1分

取，得.因为，所以.

取，得，所以.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………3分

(Ⅱ)在中取得.

所以.

在中取，得.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得

　　　　 .

所以对任意实数均成立.

所以.　　　　　　　　　　　　 ………………………………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，

在中，

取，得，即　 ①

取，得 ②

取，得，即 ③

②+①得，②+③得.

.

将代入①得.

将代入②得.

.

由(Ⅱ)知，所以对一切实数成立.

故当时，对一切实数成立.

存在常数，使得不等式对一切实数成立，且为满足题设的唯一一组值.　　　　　　　　　 ………………………………………14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

(9)62　　　　 (10)2 　　　　(11)　　　 　　(12)2，

(13) 　　(14)，③④

ACDDB CDC

(15)(本小题共13分)

已知数列的前项和为，, (，).

且，，成等差数列.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求数列的通项公式.

(16)(本小题共13分)

检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级. 每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格. 设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为. 　

(Ⅰ)在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；

(Ⅱ)如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求的分布列及期望.

(17)(本小题共14分)

如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)求二面角的大小.

(18)(本小题共13分)

已知：函数(其中常数).

(Ⅰ)求函数的定义域及单调区间；

(Ⅱ)若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．

(19)(本小题共13分)

已知抛物线C:，过定点，作直线交抛物线于(点在第一象限).

(Ⅰ)当点A是抛物线C的焦点，且弦长时，求直线的方程；

(Ⅱ)设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且.求证：点B的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.

(20)(本小题共14分)

已知定义域为，满足：

①；

②对任意实数，有.

(Ⅰ)求，的值；

(Ⅱ)求的值；

(Ⅲ)是否存在常数，使得不等式对一切实数成立.如果存在，求出常数的值；如果不存在，请说明理由.

广州市东风中学2010-2011年度高三综合训练(7)

(9)已知等比数列中，，，那么的值为　　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

(10)已知函数是连续函数，则实数的值是　　　　　　 .

(11)已知，则的值等于______　 _ .

(12)已知函数的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则　　 ，　　 .

(13)以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为　　　　 .

(14)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.

(ⅰ)方程的解是　　　　 ；

(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是　　　　　 .(填出所有正确命题的序号)

①； ②是奇函数；　 ③在定义域上单调递增； ④的图象关于点 对称．

(1)．由实数，所组成的集合里，所含元素个数最多有　　　　　　　 (　　 )

　　 A．0个　　　　　　 B．1个　　　　　 C．2个　　　　　　 D．3个

(2)．设条件那么p是q的什么条件　　　　　　　 (　　 )

　　 A．充分非必要条件　　　　　　　　　 B．必要非充分条件

　　 C．充分且必要条件　　　　　　　　　 D．非充分非必要条件

(3)．若，则的值是　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　　　　　 B．　　　　 C．-　　　　　　 D．

(4)．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　　　　 　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

　 (5)．若函数的图像可以是　　　　　　　　　 (　　 )

(6)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为　　 　　　　　　　(　　 )

(A)360　　　　　 (B)520　　　　　 (C)600　　　　　　 (D)720

(7)在棱长均为2的正四棱锥中，点为的中点，则下列命题正确的是 　　　　　(　　 )

　 (A)∥平面，且到平面的距离为

　 (B)∥平面，且到平面的距离为

(C)与平面不平行，且与平面所成的角大于　　　　　

(D)与平面不平行，且与平面所成的角小于

(8)已知点是矩形所在平面内任意一点，则下列结论中正确的是　 　　　　　　　　(　　 )

(A)　　　　 (B)　　

(C)　　　　　 (D)

2．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)

解析：分两类：第一棒是丙有C·C·A＝48，第一棒是甲、乙中一人有C·C·A＝48，

因此共有方案48+48＝96(种)．

答案：96

1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(　)

A．20种　 　　　 B．30种　 　　　　 C．40种　 　　　　 D．60种

解析：分类计数：甲在星期一有A＝12种安排方法，甲在星期二有A＝6种安排方法，甲在星期三有A种安排方法，总共有12+6+2＝20(种)．

答案：A

10．设M＝{1,2,3，…，n}，M的子集中含有4个元素的子集的个数记为k，如果k个集合的所有元素之和为A，求n的值．

解答：集合M含有4个元素的子集中，其中含有1的子集共有C，同理含有i(i＝2,3，…，n)的子集均共有C个，根据已知条件：(1+2+…+n)C＝A，

整理得(n+1)n(n－1)(n－2)(n－3)＝100×99×98×97×96，∴n＝99.

9．在m(m≥2)个不同数的排列p₁p₂…p_m中，若1≤i＜j≤m时p_i＞p_j(即前面某数大于后面某数)，则称p_i与p_j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n+1)n(n－1)…321的逆序数为a_n.如排列21的逆序数a₁＝1，排列321的逆序数a₂＝3，排列4 321的逆序数a₃＝6.

(1)求a₄、a₅，并写出a_n的表述式；

(2)令b_n＝+，证明2n＜b₁+b₂+…+b_n≤2n+3，n＝1,2，….

解答：(1)a₄＝C＝10，a₅＝C＝15，∴a_n＝C＝.

(2)证明：b_n＝+＝+＝2+－，∴b₁+b₂+…+b_n＝2n+2(－－)，因此2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3.