摘要：解:(Ⅰ)∵(). ∴(). -----------1分 ∵..成等差数列. ∴. ---------------3分 ∴. ---------------5分 ∴. --------------6分 得 (). ∴数列为首项是.公差为1的等差数列. ----------8分 ∴. ∴. ---------------10分 当时.. ------------12分 当时.上式也成立. ----------13分 ∴(). 解:(Ⅰ)该间教室两次检测中.空气质量均为A级的概率为.------------2分 该间教室两次检测中.空气质量一次为A级.另一次为B级的概率为. ------------4分 设“该间教室的空气质量合格 为事件E.则 ------------5分 . -------------6分 答:估计该间教室的空气质量合格的概率为. (Ⅱ)由题意可知.的取值为0.1.2.3.4. -------------7分 . 随机变量的分布列为: 0 1 2 3 4 -------------12分 解法一: ∴. ---------13分 解法二:. ∴. -------------13分 (Ⅰ)证明:设的中点为. 在斜三棱柱中.点在底面上的射影恰好是的中点, 平面ABC. --------1分 平面. . --------2分 . ∴. . ∴平面. -----4分 平面. 平面平面. ---------------5分 解法一:(Ⅱ)连接.平面. 是直线在平面上的射影. ----------5分 . 四边形是菱形. . -------------7分 . ---------------9分 (Ⅲ)过点作交于点.连接. . 平面. . 是二面角的平面角. --11分 设.则. . . . . 平面.平面. . . 在中.可求. ∵.∴. ∴. . ---------13分 . ∴二面角的大小为. -------------14分 解法二:(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点.设的中点为.则平面ABC.以为原点.过平行于的直线为轴.所在直线为轴.所在直线为轴.建立如图所示的空间直角坐标系. 设.由题意可知.. 设.由.得 ---------------7分 . 又. . . --------------9分 (Ⅲ)设平面的法向量为. 则 ∴ . 设平面的法向量为.则 ∴ . ---------------12分 . ---------------13分 二面角的大小为. ---------------14分 解:(Ⅰ)函数的定义域为． -------------1分 . ------------3分 由.解得. 由.解得且． ∴的单调递增区间为.单调递减区间为.． -------6分 (Ⅱ)由题意可知..且在上的最小值小于等于时.存在实数.使得不等式成立． ---------------7分 若即时. x a+1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴在上的最小值为． 则.得． -------------10分 若即时.在上单调递减.则在上的最小值为． 由得(舍)． ---------------12分 综上所述.． ---------------13分 解:(Ⅰ)由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为.设直线的方程为:.. ---------------1分 由得. 所以..因为. -------------3分 所以. 所以.即. 所以直线的方程为:或. ---------------5分 (Ⅱ)设..则. 由得. 因为.所以.. --------------7分 (ⅰ)设.则. 由题意知:∥.. 即. 显然 ---------------9分 (ⅱ)由题意知:为等腰直角三角形..即.即. . . ... ---------------11分 . 即的取值范围是. ---------------13分 解:(Ⅰ)取.得.即. 因为.所以. ---------------1分 取.得.因为.所以. 取.得.所以. ---------------3分 (Ⅱ)在中取得. 所以. 在中取.得. 在中取. 得. 所以. 在中取. 得. 所以. 在中取. 得 . 所以对任意实数均成立. 所以. ---------------9分 知. 在中. 取.得.即 ① 取.得 ② 取.得.即 ③ ②+①得.②+③得. . 将代入①得. 将代入②得. . 由(Ⅱ)知.所以对一切实数成立. 故当时.对一切实数成立. 存在常数.使得不等式对一切实数成立.且为满足题设的唯一一组值. ---------------14分 说明:其它正确解法按相应步骤给分.

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