6．若双曲线的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为(　 C　 )

(A)2　　　　　　　　 　 (B)3　　　　　　　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　 　　 (D)4

5．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(　 C　 )

A．　　　　 B．　 C．　　　 D．

4．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　 B　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

3．双曲线(a＞0,b＞0)的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PE₂|，则双曲线离心率的取值范围为( B　 )

A.(1，3)　　 B.(1，3)　　　　 C.(3，+∞)　　 D. [3，+∞)

2．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是( B　 )

A．　　　　 　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

例6．已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．

(1)证明三点共线；

(2)如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

解：(1)设，

则直线的方程：，即

因在上，所以①　 又直线方程：

由得：，所以

同理，，所以直线的方程：

令得

将①代入上式得，即点在直线上，所以三点共线

(2)由已知共线，所以　 以为直径的圆的方程：，由得

所以(舍去)，　 。要使圆与抛物线有异于的交点，则，所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 ，则，所以交点到的距离为　

例7．已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

解：(Ⅰ)设双曲线的方程为，由题设得

　 解得　　 所以双曲线的方程为．

(Ⅱ)设直线的方程为，点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得．

此方程有两个不等实根，于是，且．整理得

．　　　　 ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

．整理得，．

将上式代入③式得，

整理得，．解得或．

所以的取值范围是．

变式：

设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)求四边形面积的最大值．

解：(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．

如图，设，其中，

且满足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．，

化简得，解得或．

(Ⅱ)根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为

，．

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

反馈练习：

1．已知变量满足约束条件则的最大值为(　 B )

A．　　 　 　　 　B．　　　　 　　　 C．　　　　　 　　　 D．

2．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于　　　　 2

例5．①已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )

(A)　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

②已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )

A．　　　 　　B．　 　　　　C．　 　　　　D．

变式：

1．设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为(　 B　 )

A．　　　　　　 B． 　　 　　　　　 C． 　 　　　　　 D．

例3. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则=　 　　　8

例4. 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

(Ⅰ)证明：抛物线在点处的切线与平行；

(Ⅱ)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解：(Ⅰ)如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，直线与抛物线相切，

，．即．

(Ⅱ)假设存在实数，使，则，又是的中点， ．

由(Ⅰ)知．

轴，．

又

　．

，解得．即存在，使．

变式：

已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

解：(Ⅰ)依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为(0＜a²＜4)，

将点(3，)代入上式，得.解得a²=18(舍去)或a²＝2，故所求双曲线方程为

　(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴　 ∴k∈(－)∪(1,).

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

2．若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于 (　 C　 )

(A)　　　　 (B) 　　　(C)1　　　　 (D)