297. 如图9-37，两条异面直线AB、CD与三个平行平面a 、b 、g 分别相交于A、E、B，及C、F、D，又AD、BC与平面b 的交点为H、G．求证：EHFG为平行四边形．

解析：

296. 如图9-35，平面a ∥平面b ，△ABC、△的分别在a 、b 内，线段、、相交于点O，O在a 、b 之间．若AB=2，AC=1，∠ABC=60°，OA∶=3∶2，则△的面积为________．

解析：图9-35

∵　，∴　、确定平面，平面∩a =AB，平面，∵　a ∥b ，∴　，同理，．由于方向相反，∴　△ABC与△的三内角相等，∴　△ABC∽△．且．　∵，∴　

295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．

解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等．

294. 已知AC，BD是夹在两平行平面a 、b 间的线段，A∈a ，B∈a ，C∈b ，D∈b ，且AC=25cm，BD=30cm，AC、BD在平面b 内的射影的和为25cm，则AC、BD在平面b 内的射影长分别为________，AC与平面b 所成的角的正切值为________，BD与平面b 所成的角的正切值为________．

解析：设a 、b 间的距离为h，AC在平面b 内的射影，BD在平面b 内的射影，根据已知条件可得②-①得，即

，把③代入得y-x=11，∴　 解得即，．又h=24cm，AC与平面b 所成的角为，

，同理

293. 平面a ∥平面b ，过平面a 、b 外一点P引直线PAB分别交a 、b 于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交a 、b 于C、D两点．已知BD=12，则AC的长等于(　)．

　A．10　　　　B．9　　　　C．8　　　　D．7

解析：B．如图答9-32，平面PBD∩a =AC，平面PBD∩b =BD，∵　a ∥b ，∴　AC∥BD．由平面几何知识知，．∵　PA=6，AB=2，BD=12，∴　，∴　AC=9．

292. 设a 、b 是两个平面，l和m是两条直线，那么a ∥b 的一个充分条件是(　)．

　A．la ，ma ，且l∥b ，m∥b 　　B．la ，mb ，且l∥m

　C．l⊥a ，m⊥b ，且l∥m　　　　 D．l∥a ，m∥b ，且l∥m

解析：C．可参看图答9-31．

图答9-31

291. 给出下列命题，错误的命题是(　)．

　A．若直线a平面a ，且a ∥平面b ，则直线a与平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离

　B．若平面a ∥平面b ，点A∈a ，则点A到平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离

　C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离

　D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离

解析：C．以下按顺序说明，对A中，在a上任取一点P，作PH⊥b ，PH为直线a与平面b 的距离．∵　a ∥b ，PH⊥a ，∴　PH又为a 、b 间的距离．对于B，作AH⊥b ，AH的长为点A到b 的距离．又∵　a ∥b ，∴　AH⊥a ，于是AH的长是a 、b 两个平行平面间的距离．

　对于C，设a∥b，aa ，bb ，过a上任一点P作PQ⊥b于Q，则PQ的长为a、b两平行直线间的距离．因为PQ与a 、b 不一定垂直，所以PQ的长一般不是a 、b 间的距离，一般地说，a、b间的距离不小于a 、b 间的距离．

　对于D．设是异面直线a、b的公垂线段，A∈a，，aa ，bb ，过A和b的平面与a 相交于，则，于是．∴　．同理 ．故的长又是a 、b 两个平面间的距离(如图答9-30)．　

279.　 在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)

(1)求点C′到平面AB′C的距离；(2)求二面角B－B′C-A的余弦值.

解析：(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.即C′到平面AB′C的距离为；

(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

说明 　利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.

280　 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.

作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG　 ∵OE⊥AC，BD⊥AC　 ∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)　 ∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE＝PC＝a,OB＝a　　 ∴EB＝a.∴OG＝＝a　 又AO＝a.

∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan.

评析　 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

278.　 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.

277.　 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C为直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

评析　 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.