96、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。

(Ⅰ)求函数的表达式；

(Ⅱ)若数列满足，，，，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，如果,

,证明：，。

解：(Ⅰ)由，，，得.…1分

由，得.…………2分

由只有一解，即，也就是只有一解，

∴∴.…………3分

∴.故.…………………4分

(Ⅱ)解法一:∵，，∴，

，，……………5分

猜想，.……………6分

下面用数学归纳法证明：

1⁰ 当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立. ……………7分

2⁰ 假设n=k时，命题成立，即；当　n=k+1时，，

∴当　n=k+1时，命题成立. ………………8分

由1⁰，2⁰可得，当时，有.……………9分

∵，∴

∴是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.………10分

解法二:∵， ∴………5分

即,………8分

∴………9分

,………10分

(Ⅲ)当为偶数时,

即………………12分

∴

即.…………………14分

95、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数是定义在R上的奇函数，且当x=1时f(x)取最大值1.

(1)求出a,b,c的值并写出f(x)的解析式；

(2)若x₁∈(0，1)，x_n+1=f(x_n)，试比较x_n+1与x_n的大小并加以证明；

(3)若，求证.

解：(1)∵的定义域为R，∴c>0

又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)+f(x)=0

　 b=0 ……………………………………………………2分

∴，又f(1)=1，∴a=1+c>0，∴当x>0时，

∴　 ………………………………………………………………4分

∴a=2，b=0，c=1，　 ……………………………………………5分

(2)，∵x₁∈(0，1)，∴x_n+1>0(n∈N^*)

又矛盾，∴x_n+1<1…7分

∴　　 ∴x_n+1>x_n。…9分

(3)∵0<x_k<1，　

∴

∴ ……………………11分

∵

　…………………………………14分

94、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知，数列{a_n}满足对任意n∈N^*有a_n≠1且a₁=2，

(1)求证：{a_n­－1}是等比数列；

(2)若，当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值。

解：(1)∵

∴ ………………………………3分

由a_n≠1知a_n－1≠0

∴10a_n+1－10a_n+a_n－1=0　　 ∴10(a_n+1－1)=9(a_n－1)　 ∴

∴{a_n－1}是以a₁－1=1为首项公比为的等比数列 ………………7分

　　　 (2)由(1)知：

　　　　 ∴ ……………………………9分

　　　　 ，当n=7时，

　　　　 当n<7时，，当n>7时，………12分

　　　　 ∴当n=7或8时，b_n取最大值为b₇=b₈= …………………………14分

93、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．

0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008

1，3，5， …，　 4011， 4013， 4015

4，8，　 …，　　　 8024， 8028

……

(1)由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列．求通项公式；

(2)各行的第一个数组成数列，求数列所有各项的和。

(1)，

，则是等比数列，．　　　　　 6′

(2)，．

∴数列是等差数列，，所以　 12′

数列所有各项的和S

S=0+1+2×2+3×2²+……+2007×2²⁰⁰⁶

用错位相减法，得到S=1003×2²⁰⁰⁸－1　　　　　　　 　　　　　　　　　16′

92、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且；②且.

(1)求及的坐标；

(2)若四边形的面积是，求的表达式；

(3)对于(Ⅱ)中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

解：(1)

　　 ．……………………………………5分

(2)

，……………………………………………………10分

(3)

等

即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立. …………………………16分

91、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)已知函数的图象过原点，且关于点成中心对称.

　(1) 求函数的解析式；

　(2) 若数列满足：，求，，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；

　(3) 若数列的前项和为，判断与2的大小关系，并证明你的结论.

(1)解：∵函数的图象过原点，

∴即，

∴.　　　

又函数的图象关于点成中心对称，

∴， .

(2)解：由题意有　 即，

　即，即.

　∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.

　∴，即. ∴.

　 ∴ ，，，.　

(3)证明：当时，　

　故

90、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设数列满足：，且当时，

　(1) 比较与的大小，并证明你的结论；

　(2) 若，其中，证明：

解：(1)由于，则，

∴，∴

　 (2)由于，由(1)，则，，

而，则，∴

　　 又

　 ∴，

∴，而，且，故

　∴，因此，从而

89、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知数列中，，且对时，有．

(Ⅰ)设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)记，求数列的前n项和S_n．

(Ⅰ) 证明：由条件，得，

则．……………………………………2分

即，所以，．

所以是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………4分

，所以．

两边同除以，可得．…………………………………………………6分

于是为以首项，－为公差的等差数列．

所以．………………………………………………8分

(Ⅱ)，令，则．

而．

∴． ……………………………………………………………12分

，

∴．………………14分

令T_n＝，　　　　　　　　　 ①

则2T_n＝． ②

①－②，得T_n＝，T_n＝．

∴．……………………………………………………………16分

评讲建议：

此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．

88、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2ⁿ > n²成立．

证明：(1)当时，，结论成立．

　　　　 (2)假设当时，结论成立，即：

　　　　　　 那么当时，左边=

　　　　　　　　　　　　　　 =右边．

　　　 也就是说，当时，结论成立．…………………………6分．

　　　 由(1)、(2)可知，不等式 对时恒成立．……8分．

87、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)设数列{a_n},{b_n}都是等差数列，它们的前n项的和分别为S_n , T_n ，若对一切n ∈ N*，都有S_n+3 = T_n ．

(1)若a₁ ≠ b₁，试分别写出一个符号条件的数列{a_n}和{b_n}；

(2)若a₁ + b₁ = 1，数列{c_n}满足：c_n = 4 ^an + l(–1)^n–12 ^bn，且当n ∈ N*时，c_n+1 ≥ c_n恒成立，求实数l的最大值．

解：(1)答案不唯一，例如，……4分

　 (2)设数列的公差分别是，

　　　 则

　　 对一切，有，

　　 ……………………6分

　 即：

　 即…………………………………8分

………………………………………………10分

时，恒成立，

即时，恒成立

当为正奇数时，恒成立，而，；

当为正偶数时，恒成立，而，

　 　　　的最大值是．