摘要：(二)填空是: 2.在平面几何里.有勾股定理:“设的两边互相垂直.则有.. 拓展到空间.类比平面几何的定理.研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系.可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三个侧面两两相互垂直.则 . (三)解答题: 3.如图.在三棱锥中.侧面与侧面均为等边三角形..为中点． (Ⅰ)证明:平面, (Ⅱ)求二面角的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题设.连结.为等腰直角三角形.所以.且.又为等腰三角形.故.且.从而． 所以为直角三角形.． 又． 所以平面． (Ⅱ)解法一: 取中点.连结.由(Ⅰ)知.得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以.又. 故． 所以二面角的余弦值为． 解法二: 以为坐标原点.射线分别为轴.轴的正半轴.建立如图的空间直角坐标系． 设.则． 的中点.． ． 故等于二面角的平面角． . 所以二面角的余弦值为． 4.如图.已知平面平行于三棱锥的底面.等边所在的平面与底面垂直.且.设. (1)求证直线是异面直线与的公垂线, (2)求点到平面的距离, (3)求二面角的大小. 解法1: (Ⅰ)证明:∵平面∥平面. 又∵平面⊥平面.平面∩平面. ∴⊥平面. . 又.. 为与的公垂线. (Ⅱ)解法1:过A作于D. ∵△为正三角形. ∴D为的中点. ∵BC⊥平面 ∴. 又. ∴AD⊥平面. ∴线段AD的长即为点A到平面的距离. 在正△中.. ∴点A到平面的距离为. 解法2:取AC中点O连结.则⊥平面.且=. 由(Ⅰ)知.设A到平面的距离为x. . 即.解得. 即A到平面的距离为. 则 所以.到平面的距离为. (III)过点作于.连.由三重线定理知 是二面角的平面角. 在中. . . 所以.二面角的大小为arctan. 解法二: 取中点连,易知底面.过作直线交. 取为空间直角坐标系的原点.所在直线分别为轴.轴.轴建立如图所示的空间直角坐标系.则. (I).. . . 又 由已知. . 而. 又显然相交. 是的公垂线. (II)设平面的一个法向量. 又 由 取 得 点到平面的距离.即在平面的法向量上的投影的绝对值. .设所求距离为. 则 所以.A到平面VBC的距离为. (III)设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角. 所以.二面角的大小为 5.如图3所示.在四面体中.已知. ．是线段上一点..点在线段上.且． (Ⅰ)证明:, (Ⅱ)求二面角的大小． [答案] (Ⅰ)证明:在中. ∵ ∴ ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形. 同理可证.△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形. △PCB是以∠PCB为直角的直角三角形． 在中.∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 知PB⊥CE.PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影.故AB⊥CE ∴CE⊥平面PAB.而EF平面PAB. ∴EF⊥EC. 故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角. ∵ ∴. ∴二面角B-CE-F的大小为． 解法二:如图.以C点的原点.CB.CA为x.y轴. 建立空间直角坐标系C-xyz.则 .... ∵为平面ABC的法向量. 为平面ABC的法向量. ∴. ∴二面角B-CE-F的大小为．

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