4．两个向量＝(x₁、y₁)和＝(x₂、y₂)共线的充要条件是　　　　 ．

例1.已知点A(2，3)，B(－1，5)，且＝，求点C的坐标．

解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, )

变式训练1.若，，则=　　　　　　　　　　 .　　

解: 提示：

例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．

解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝

变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2+＝(－1，2)，求+．

解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴+＝(0，1)

例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝+2，＝2－，且∥，求x．

解:＝(1+2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1+2x)＝4(2－x)x＝

变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．

证明: k＝ ∴k－＝≥0　 ∴k≥

例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．

(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；

(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．

解：(1)设点C的坐标为(x₀，y₀)，

　得x₀＝10　 y₀＝6　 即点C(10，6)

(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)²+(y－1)²＝36　 (y≠1)

∵M为AB的中点 ∴P分的比为

设P(x，y)，由B(7，1)　 则D(3x－14，3y－2)

∴点P的轨迹方程为

变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．

解 已知A (0，1)，B (－3，4)　 设C (0，5)，

D (－3，9)

则四边形OBDC为菱形　 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD

∵

∴

3．平面向量的坐标运算：

若＝(x₁、y₁)，＝(x₂、y₂)，λ∈R，则：

+＝　　　　　　

－＝　　　　　　

λ＝　　　　　　

已知A(x₁、y₁)，B(x₂、y₂)，则＝　　　　　　 ．

2．向量的坐标表示与起点为　　　　 的向量是一一对应的关系．

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x+y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作　　　　 ．并且||＝　　　 　　．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第2课时　 平面向量的坐标运算

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．

2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．

1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得　　　　 ．

⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是　　　　 ．

例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．

解：＝－＝(+)－＝－+

变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于(　 )

A．－+

B．－－

C．－

D．+

解:A

例2. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．

解:＝λ+μ2－9＝(2λ+2μ)+(－3λ+3μ)2λ+2μ＝2，且－3λ+3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：

证明 +＝2，+＝2+++＝4

例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．

解：连NC，则；

变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．

解:＝+，＝+，

＝－

例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(+)三向量的终点在一条直线上？

解：设 (∈R)化简整理得：

∵，∴

故时，三向量的向量的终点在一直线上．

变式训练4：已知，设，如果

，那么为何值时，三点在一条直线上？

解：由题设知，，三点在一条

直线上的充要条件是存在实数，使得，即，

整理得.

①若共线，则可为任意实数；

②若不共线，则有，解之得，.

综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.

3．实数与向量的积

⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：

① | 　|＝　　　　　 ．

② 当＞0时，的方向与的方向　　　　 ；

　 当＜0时，的方向与的方向　　　　 ；

　 当＝0时，　　　　 ．

⑵ (μ)＝　　　　　 ．

　 (+μ)＝　　　　　 ．

　 (+)＝　　　　　 ．

⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得　　　　 ．