25．(2010广东广州，25，14分)如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线＝－+交折线OAB于点E．

(1)记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA₁B₁C₁，试探究OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

[分析](1)要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标)，代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

(2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

[答案](1)由题意得B(3，1)．

若直线经过点A(3，0)时，则b＝

若直线经过点B(3，1)时，则b＝

若直线经过点C(0，1)时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

　 此时E(2b，0)

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E(3，)，D(2b－2，1)

∴S＝S_矩－(S_△OCD+S_△OAE +S_△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1+×(5－2b)·()+×3()]＝

∴

(2)如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴

∴S_{四边形DNEM}＝NE·DH＝

∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

　 　　 [涉及知识点]轴对称 四边形 勾股定理

[点评]本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

[推荐指数]★★★★★

24．(2010广东广州，24，14分)如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点(与端点A、B不重合)，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

(1)求弦AB的长；

(2)判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

(3)记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

[分析](1)连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；

(2)要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；

(3)由题可知＝DE (AB+AC+BC)，又因为，所以，所以AB+AC+BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB+AC+BC＝CG+CH+AG+AB+BH＝DE+，可得＝DE+，解得：DE＝，代入AB+AC+BC＝，即可求得周长为．

[答案]解：(1)连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

(2)∠ACB是定值.

理由：由(1)易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE+∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB+∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

(3)记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE+BC•DH+AC•DG＝(AB+BC+AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB+BC+AC＝2+2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周长为．

　 　　 [涉及知识点]垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积

[点评]本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题

[推荐指数]★★★★★

23．(2010广东广州，23，12分)已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A(－1，6)．

(1)求m的值；

(2)如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．

[分析](1)将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；(2)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则△CBE∽△CAD，运用相似三角形知识求出CE的长即可求出点C的横坐标．

[答案]解：(1)∵ 图像过点A(－1，6)，． ∴

(2)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，

由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，

∴△CBE∽△CAD，∴ ．

∵AB＝2BC，∴

∴，∴BE＝2．

即点B的纵坐标为2

当y＝2时，x＝－3，易知：直线AB为y＝2x+8，

∴C(－4，0)

[涉及知识点]反比例函数

[点评]由于今年来各地中考题不断降低难度，中考考查知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数出现在解答题中的频数越来约多．

[推荐指数]★★★★

22．(2010广东广州，22，12分)目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．

(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；

(2)求大楼的高度CD(精确到1米)

[分析](1)由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB＝610；(2)根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610米，在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．

[答案](1)由题意，AC＝AB＝610(米)；

(2)DE＝AC＝610(米)，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，故BE＝DEtan39°．

因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)

　　 答：大楼的高度CD约为116米．

[涉及知识点]解直角三角形

[点评]解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．

[推荐指数]★★★★★

21．(2010广东广州，21，12分)已知抛物线y＝－x²+2x+2．

(1)该抛物线的对称轴是　　　　 ，顶点坐标　　　　　　　　 ；

(2)选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

(3)若该抛物线上两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)的横坐标满足x₁＞x₂＞1，试比较y₁与y₂的大小．

[分析](1)代入对称轴公式和顶点公式(－，)即可；(3)结合图像可知这两点位于对称轴右边，图像随着x的增大而减少，因此y₁＜y₂．

[答案]解：(1)x＝1；(1，3)

(2)

(3)因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x₁＞x₂＞1，所以y₁＜y₂．

[涉及知识点]抛物线的顶点、对称轴、描点法画图、函数增减性

[点评]二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．

[推荐指数]★★★★★

20．(2010广东广州，20，10分)广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：

(1)本次问卷调查取样的样本容量为_______，表中的m值为_______．

(2)根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．

(3)若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少？

[分析](1)由于非常了解频数40，频率为0.2，因此样本容量为：40÷0.2＝200，表中的m是比较了解的频率，可用频数120除以样本容量200；(2)非常了解的频率为0.2，扇形圆心角的度数为0.2×360°＝72°；(3)由样本中“比较了解”的频率0.6可以估计总体中“比较了解”的频率也是0.6．

[答案](1)200；0.6；

(2)72°；补全图如下：

(3)1800×0.6＝900

[涉及知识点]扇形统计图 样本估计总体

[点评]统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势．

[推荐指数]★★★★★

19．(2010广东广州，19，10分)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。

　　　 [分析]由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．

[答案]解：∵有两个相等的实数根，

∴⊿＝，即．

∵

∵，∴

[涉及知识点]分式化简，一元二次方程根的判别式

[点评]本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．

18．(2010广东广州，18，9分)如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．

求证：∠A+∠C＝180°

[分析]由于AD∥BC，所以∠A+∠B＝180°，要想说明∠A+∠C＝180°，只需根据等腰梯形的两底角相等来说明∠B＝∠C即可．

[答案]证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠B＝∠C

又∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°

∴∠A+∠C＝180°

[涉及知识点]等腰梯形性质

[点评]本题是一个简单的考查等腰梯形性质的解答题，属于基础题．

[推荐指数]★★★

17．(2010广东广州，17，9分)解方程组

[答案]

①+②，得4x＝12，解得：x＝3．

将x＝3代入①，得9－2y＝11，解得y＝－1．

所以方程组的解是．

[点评]对二元一次方程组的考查主要突出基础性，题目一般不难，系数比较简单，主要考查方法的掌握．

[推荐指数]★★★

16．(2010广东广州，16，3分)如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．

[分析]由于BD是△ABC的角平分线，所以∠ABC＝2∠ABD＝72°，所以∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形．∠A＝180°－2∠ABC＝180°－2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．

[答案]3

[涉及知识点]等腰三角形的判定

[点评]要想说明一个三角形是等腰三角形，只要能找到两个相等的角或两条相等的边即可，本题主要考查的“等角对等边”的应用，本题难度中等，只要细心，很容易拿分．

[推荐指数]★★★★