9. (Ⅰ)证明：，

面面．

又面，

所以平面．

(Ⅱ)取的中点，连接．

平面

又平面．

，

面．

所以四棱锥的体积.

(Ⅲ)如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以的中点坐标为．

因为，所以．

易知是平面的一个法向量，．

设平面的一个法向量为

由

令则，，．

．

所以面与面所成锐二面角的余弦值为．

18.8. 解：(I)证明：，

，同理可得BC//平面PDA，

又，…………………………………………4分

(II)如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a，

则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,)。

……………………8分

(III)连结DN，由(II)知

　 为平面ABCD的法向量，，

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，则

，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45⁰………………………13分

7. ⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴　　　　　　　　　　

⑵当为中点，即时，平面，理由如下：

连结，由为中点，为中点，知，

而平面，平面，

故平面．

⑶作于，连结，

∵面，四边形是正方形，

∴，

又∵，，∴，

∴，且，

∴是二面角的平面角，

即，

∵⊥面，∴就是与底面所成的角

连结，则，，

∴，

∴，∴，

∴

∴与底面所成角的正切值是．

另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形的边长为，则，，，，，，，．

⑴，，

∴

⑵要使平面，只需，而，

由可得，解得，，

∴，∴

故当时，平面

设平面的一个法向量为，

则，而，，

∴，取，得，

同理可得平面的一个法向量

设所成的角为，则，

即，∴，∴

∵面，∴就是与底面所成的角，

∴．

6. (Ⅰ)证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.

　又∵平面，∴ .

∵，，是中点，∴.　 　　

又∵∩， ∴平面.　　

(Ⅱ)解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,.

设，平面的法向量，

则,.

且，.于是

所以取，则　　　　

∵ 三棱柱是直棱柱，∴ 平面.又∵ 平面，

∴ 　.∵ ，∴ .∵ ∩，

∴ 平面.∴ 是平面的法向量，.

∵二面角的大小是，

∴. 解得. ∴.　

5. 解法一：(Ⅰ)平面，平面．．

又，．

，，

，即．

又．平面．

…………………．．6分

(Ⅱ)连接．

平面．，．

为二面角的平面角．

在中，，

，，

二面角的大小为．　　　　　　 ………………………．．12分

解法二：(Ⅰ)如图，建立坐标系，

则，，，，，

，，，

．，，

又，面．

(Ⅱ)设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则n, n

解得

．

，n>．二面角的大小为．

4. 方法1：(I)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，　　　　　　　 …………(2分)

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；　　 …………(4分)

(II)解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO平面ABCD．

连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，

　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

∵PA=PD，∴，

得，

，故，

设平面EFG的一个法向量为则，

，　　　　　 　　　　　　　　　　　…………(7分)

平面ABCD的一个法向量为

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；　　　 …………(8分)

(III)解：设，M(x，，0)，则，　　　

设MF与平面EFG所成角为，

则，

或，∵M靠近A，∴　　　　　　　　　　 …………(10分)

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．………(12分)

方法2：(I)证明：过P作P OAD于O，∵，

则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，

　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(2分)

∵PA=PD，∴，

得，

，

故，

∵，

∴EF平面PAD；　　　　　　　 …………(4分)

(II)解：，

设平面EFG的一个法向量为

则， ，…………(7分)

平面ABCD的一个法向量为……[以下同方法1]

方法3：(I)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，　　　　　　　　 …………(2分)

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；　　　 …………(4分)

(II)解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG ，

∴EHA是锐二面角的平面角，等于；　　　　　　　　　 ………(8分)

(III)解：过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF，

则KFM即为MF与平面EFG所成角，　 　　　　　　　　　………(10分)

因为AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，

∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，

∴，，在直角梯形中，，

∴或∵M靠近A，∴　　　　　　　　 …………(11分)

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．…………(12分)

3. ⑴证明：因为，且为的中点，所以．

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，

所以平面．

⑵如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，，又

∴．

所以得：，，，，，，则有：

，，．

设平面的一个法向量为，则有

，令，得，

所以．

．

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，

所以．

⑶设，

即，得．

所以，得

令平面，得，即，得，

即存在这样的点，为的中点．

2. (Ⅰ)以D为原点，DA、DC、DD₁分别为

x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0),　

D₁ (0,0,2)，A₁ (1,0,2)，B₁ (1,1,2)，C₁ (0,1,2)， P(0,1,m)，

所以，

.………4分

(Ⅱ)∵

又∵，

∴的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则=，解得.

故当时，直线AP与平面所成角为60º.………………8分

(Ⅲ)∵m=1，∴P(0,1,1)，∴.

设平面PA₁D₁的法向量为，可求得，

设平面PAB的法向量为，可求得.

∴，

故平面PA₁D₁与平面PAB所成角为60⁰. ………………12分

1. 解法一：(1)∵BOCD为正方形，

∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD　 ……(3分)

(2)设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，

则∠CFE为所求二面角的平面角。

显然CE=，在RtΔAOD中，OA=2，OD=2，则AD=2，

，

∴tan∠CFE=，∴∠CFE=　　 ………(8分)

(3) ……(12分)

解法二：建立空间坐标系如图所示，

此时A(0,2,0)，B(0,0,2)，C(2,0,0)，D(2,0,2)

(1)=(2,0,-2)，=(2,-2,2)，∵4-4=0，∴BC⊥AD……(3分)

(2)取平面OAD的法向量，由于，取平面CAD的法向量

则，∴所求二面角为60°　 ………(8分)

(3)

………………………(12分)

11.(2011北京朝阳区一模)

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶求直线与平面所成角的正弦值．

2010年新课标省市高三数学模拟题分类

　 第四节　 立体几何、空间向量详解答案