例1 判断正误,并简要说明理由

①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2

解:上述8个命题中只有③⑧正确;

对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;

对于②:应有0·a=0;

对于④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;

对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0;

对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零;

对于⑦:若a与с共线,记a=λс

则a·b=(λс)·b=λ(с·b)=λ(b·с),

∴(a·b)·с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a

若a与с不共线,则(a·b)с≠(b·с)a

评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b

解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,

∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18;

若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,

∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,

∴a·b=0;

③当a与b的夹角是60°时,有

a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能

 0  365831  365839  365845  365849  365855  365857  365861  365867  365869  365875  365881  365885  365887  365891  365897  365899  365905  365909  365911  365915  365917  365921  365923  365925  365926  365927  365929  365930  365931  365933  365935  365939  365941  365945  365947  365951  365957  365959  365965  365969  365971  365975  365981  365987  365989  365995  365999  366001  366007  366011  366017  366025  447090 

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