例1、(07上海春21)我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格　

	第1列	第2列	第3列	…	第列
第1行	1	1	1	…	1
第2行
第3行
…	…
第行

　　 (1) 设第2行的数依次为，试用表示的值；

　　 (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；

　　 (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问)　

　　 ① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，的值有多少个？若不能找到，说明理由　

② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由。

[解] (1) ，

　　 所以 　　　　　 …… 4分　　　　　　　　

　　 (2) ，，

　　 ，　　　　　　　　　　　　　　 　…… 7分

　　 由

　　　　　　　　　 ，

　　 得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 10分

　　 (3) ①先设成等比数列，由，得 ， 　

　　 此时 ，，

　　 所以是一个公比为的等比数列　　　　　　　　　　　　　　 …… 13分

　　 如果，为等比数列，那么一定是等比数列　

　　 由上所述，此时，，，，… 由于，

　　 因此，对于任意，一定不是等比数列　　　　　　　 …… 16分

　　 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列　…… 18分

　　 ② 设和分别为第列和第列的前三项，，

则，

　　 　　　　　　　　　　 …… 13分

若第列的前三项是等比数列，则由，得

　　 ，

　　 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 16分

　　 同理，若第列的前三项是等比数列，则　

　　 当时，　

　　 所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 18

例2、(06广东19)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

(I)求数列的首项和公比；

(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；

(III)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零。

(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限)

19解: (Ⅰ)依题意可知,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,

,即数列的前10项之和为155.

(Ⅲ) ===，

，=

当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2。

例3、(05全国Ⅰ19)设等比数列的公比为，前项和．

(Ⅰ)求的取值范围；

(Ⅱ)设，记的前项和为，试比较与的大小。

(三)解答题：

3、(06全国Ⅱ22)设数列的前项和为，且方程有一根为，＝1，2，3，…。(Ⅰ)求；(Ⅱ)的通项公式。

解：(Ⅰ)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即　S_n²－2S_n+1－a_nS_n＝0．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得

S_n－1S_n－2S_n+1＝0　　①

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁+a₂＝+＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　……8分

下面用数学归纳法证明这个结论．

(i)n＝1时已知结论成立．

(ii)假设n＝k时结论成立，即S_k＝，

当n＝k+1时，由①得S_k+1＝，即S_k+1＝，

故n＝k+1时结论也成立．

综上，由(i)、(ii)可知S_n＝对所有正整数n都成立．　……10分

于是当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－＝，

又n＝1时，a₁＝＝，所以

{a_n}的通项公式a_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　 ……12分

(二)填空题：

2、(06广东)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；(答案用表示)。

(一)选择题：

1、(04湖北)已知数列{}的前n项和

其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得(　　 )

A、为等差数列，{}为等比数列

B、和{}都为等差数列

C、为等差数列，{}都为等比数列

D、和{}都为等比数列

例1、(07广东)已知数列的前项和，第项满足，则(　　 )　　　　 A、9　　　　 B、8　　　　　　 C、7　　　　　　　 D、6

例2、(06北京20)在数列中，若 是正整数，且,3，4，5，…，则称 为“绝对差数列”。(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(Ⅱ)若“绝对差数列”中，,，数列满足

=1，2，3，…，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；(Ⅲ)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。

(Ⅰ)解：,(答案不惟一)

(Ⅱ)解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,

即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限

不存在. 当时, ,所以

(Ⅲ)证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下 　假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 　当时, ; 　当 时, 　即的值要么比至少小1，要么比至少小1. 令 则 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与() 矛盾. 从而必有零项. 若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，,　 , 即

所以绝对差数列中有无穷多个为零的项。

例3、(05江西21)已知数列：；

(1)证明(2)求数列的通项公式。

[思路点拨]本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第(1)问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第(2)问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解.

[正确解答](1)方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

　 则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　　 1°当n=1时，∴；

　　 2°假设n=k时有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　 成立，所以对一切

　 (2)下面来求数列的通项：所以

又b_n=－1，所以.

[解后反思]数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤。

18．暑假不补课，我们却怀念校园中结伴玩乐的情景；平时上学时，我们又期盼早点放假。我们在矛盾中成长着。矛盾是我们人生绕不过的弯，有的人在矛盾面前迷惘了人生的方向，有的人在矛盾中学会了选择，有的人在解决矛盾中长大，而在有的人看来，这所谓的矛盾并不是矛盾。

请以“矛盾，成长的音符”为题，写一篇不少于800字的文章。

要求：①角度自选；②立意自定；③除诗歌外，文体自选。

语文Ⅱ(加试题)