8.(2008年上海理17)(13’)

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°

的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C

处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某

人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A

用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，

求该扇形的半径OA的长(精确到1米)

[解析][解法一] 设该扇形的半径为米，连接. ……2分

由题意，得 (米)，(米)，　　 ……4分

在△中，　 ……6分

即，　　　 ……9分

解得 (米)答：该扇形的半径的长约为445米.　 　 ……13分

[解法二] 连接，作，交于，　　　 　　　 ……2分

由题意，得(米)，

(米)， ……4分

在△中，

　　 .

(米).　　　　　　 ……6分

.　　……9分

在直角△中，(米)，，

　(米).

答：该扇形的半径的长约为445米.　　　 ……13分

6.(2009年辽宁理 17 ) (本小题满分 12 分)

如图， A , B , C , D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B , D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75⁰ , 30⁰ ，于水面C处测得B点和D点的仰角都为60⁰，AC=．试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D 的距离 (计算结果精确到)

解：在△ACD中，

所以CD= AC=．

又∠BCD=故CB是△CAD底边的中垂线，所以BD=BA。--5 分

在△ABC中，，因此，，故B，D 的距离为。--------------12 分

在中，角所对的边分别为，且满足，．　

　(I)求的面积；　 (II)若，求的值．

解析：(I)因为，，

又由，得，

(II)对于，又，或，

由余弦定理得，

5.(2009年安徽理16)(本小题满分12分)

在ABC中，,　 sinB=.

(I)求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分

解：(Ⅰ)由，且，∴，∴，

∴，又，∴

(Ⅱ)如图，由正弦定理得

∴，又

∴ 　 　　　

4.(2009年天津理17)(本小题满分12分)

在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA

(I) 求AB的值： (II) 求sin的值

解析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。

(Ⅰ)解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=

(Ⅱ)解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

于是　 sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos²A-sin²A=

　　 所以　 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=

3.(2009年海南理17)(本小题满分12分)

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

　解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角；A，B的距离 d (如图所示) .　

　　 ②第一步：计算AM . 由正弦定理　；

　　　 第二步：计算AN . 由正弦定理　；

　　　 第三步：计算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要测量的数据有：

　　 A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d (如图所示).

　　 ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；

　　第二步：计算BN . 由正弦定理　；　　　

　　　 第三步：计算MN . 由余弦定理

2．(2010年福建理19)(本小题满分13分)

。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

[解析]如图，由(1)得

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇，设，OD=，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，

所以，解得，

从而值，且最小值为，于是

当取得最小值，且最小值为。

此时，在中，，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

1.( 2010年陕西理17)(本小题满分12分)

　 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解： 由题意知AB=海里，

∠　DAB=90°-60°=30°，∠　DAB=90°-45°=45°，

∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°，

在△ADB中，有正弦定理得

6.(2008年江苏13)满足条件的三角形的面积的最大值　　　　　

[解析]本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，

根据面积公式得=，根据余弦定理得

，代入上式得

=由三角形三边关系有

解得，故当时取得最大值答案]

5．(2010年山东理15)在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为　　　 　　　　．

[答案][解析]由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。

[命题意图]本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。

4．.(2010年广东理11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,　 A+C=2B,则sinC=　　 .

解析由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，

即．由知，，则，，.