23．(2010陕西省)如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE

(1)若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？

(2)当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径

解：(1)∵　 DE 垂直平分AC

∴∠DEC=90°

∴DC 为△DEC外接圆的直径

∴DC的中点 O即为圆心

连结OE又知BE是圆O的切线

∴∠EBO+∠BOE=90°

　在RT△ABC 中 E　 斜边AC 的中点

∴BE=EC

∴∠EBC=∠C

又∵∠BOE=2∠C

∴∠C+2∠C=90°

∴∠C=30°

　 (2)在RT△ABC中AC= 　　∴EC=AC=

　　 ∵∠ABC=∠DEC=90°　 ∴△ABC∽△DEC

　　 ∴ 　　　∴DC=

△　 DEC　 外接圆半径为

(2010年天津市)(22)(本小题8分)

已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.

(Ⅰ)如图①，若，，求的长(结果保留根号)；

(Ⅱ)如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.

解：(Ⅰ)∵ 是⊙的直径，是切线，

∴ .

在Rt△中，，，

∴ .

由勾股定理，得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)如图，连接、，

∵ 是⊙的直径，　

∴ ，有.

在Rt△中，为的中点，

∴ .

∴ .

又 ∵，　

∴.

∵ ，

∴ .

即 .

∴ 直线是⊙的切线. 　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

(2010山西22．(本题8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45º．

　　 (1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．

(2)若⊙O的半径为3cm，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．

1、(2010年杭州市)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移

动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位

于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.　

(1) 说明本次台风会影响B市；

(2)求这次台风影响B市的时间.

答案：(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,

由条件知, PB = 320, ÐBPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,

∴ 本次台风会影响B市.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

(2) 如图, 若台风中心移动到P₁时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P₂时, 台风影响结束.

由(1)得BH = 160, 由条件得BP₁=BP₂ = 200,

∴所以P₁P₂ = 2=240,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

∴台风影响的时间t = = 8(小时).　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

15．(10重庆潼南县)如图，在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是______．相离

24．证明：(证法一)连接．　 　　　　　　 1分

∵是⊙O的直径，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∵是的中点，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∵．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

是⊙O的切线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

(证法二)连接．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

∵，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∵OC=OE．

∴∠2=∠4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴∠1=∠3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

又，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

是⊙O的切线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

4．(2010年眉山)⊙O₁的半径为3cm，⊙O₂的半径为5cm，圆心距O₁O₂=2cm，这两圆的位置关系是

A．外切　 　　　B．相交　 　　　　C．内切　　 　　　D．内含

答案：C　

毕节24．(本题12分)如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．

8．(2010年成都)已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是(　　 )

(A)相交　　　　　　 (B)外切　　　　 (C)外离　　　　　 (D)内含

答案：A

6．(2010年长沙)已知⊙O₁、⊙O₂的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O₁O₂可能取的值是　 B

A．2　　　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　　　　　　 D．8

13. (2010年金华) 如果半径为3cm的⊙O₁与半径为4cm的⊙O₂内切，那么两圆的圆心距O₁O₂＝　 ▲　 　cm.

答案：1；

6．(2010宁波市)两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是

　 A．内切　　　　 　B．相交　　　　　 C．外切　　　　　 D．外离

26.(2010年兰州)(本题满分10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

　 (1)求证：PC是⊙O的切线；

　 (2)求证：BC=AB；

　 (3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

答案(本题满分10分)

解：(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO　　

　 ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB　　　　　　

　 ∴∠A=∠ACO=∠PCB　　　 ……………………………………………………1分

　　　　　 ∵AB是⊙O的直径

　 ∴∠ACO+∠OCB=90°　　　　 …………………………………………………2分

　　　　　 ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP　　 …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径　　　　　　　　　　　

　 ∴PC是⊙O的切线　　　　　 …………………………………………………4分

　　　　 (2)∵PC=AC　 ∴∠A=∠P

　　　　 ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P　　

　　　　 ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

　∴∠CBO=∠COB　　　　　　　　 ……………………………………………5分

　　　　 ∴BC=OC

　∴BC=AB　　　　　　 ………………………………………………………6分

　　　　 (3)连接MA,MB　　　　　　　　　　 　　　

　　　　 ∵点M是弧AB的中点

　 ∴弧AM=弧BM　 ∴∠ACM=∠BCM　　 ………7分　　

∵∠ACM=∠ABM　 ∴∠BCM=∠ABM　　　　 　

　　　　 ∵∠BMC=∠BMN

　　　　 ∴△MBN∽△MCB　　　　　　　　　

　∴　

∴BM²=MC·MN　　　　 ……………………8分

　　　 　∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

　　　　 ∴∠AMB=90°,AM=BM

　 ∵AB=4　 ∴BM=　　 ………………………………………………………9分

　∴MC·MN=BM²=8　　　　 ……………………………………………………10分