25.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.

(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;

(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

[分析](1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;

(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.

[答案](1)由题意得B(3,1).

若直线经过点A(3,0)时,则b=

若直线经过点B(3,1)时,则b=

若直线经过点C(0,1)时,则b=1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,

  此时E(2b,0)

∴S=OE·CO=×2b×1=b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2

此时E(3,),D(2b-2,1)

∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )

= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=

∴

(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!

由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知,∠MED=∠NED

又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.

过点D作DH⊥OA,垂足为H,

由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,

设菱形DNEM 的边长为a,

则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴

∴S四边形DNEM=NE·DH=

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.

     [涉及知识点]轴对称 四边形 勾股定理

[点评]本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.

[推荐指数]★★★★★

24.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.

(1)求弦AB的长;

(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;

(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.

[分析](1)连接OA,OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=,借助勾股定理可求得AF的长;

(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;

(3)由题可知=DE (AB+AC+BC),又因为,所以,所以AB+AC+BC=,由于DH=DG=DE,所以在Rt△CDH中,CH=DH=DE,同理可得CG=DE,又由于AG=AE,BE=BH,所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=DE+,可得=DE+,解得:DE=,代入AB+AC+BC=,即可求得周长为.

[答案]解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.

∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.

在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.

(2)∠ACB是定值.

理由:由(1)易知,∠AOB=120°,

因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,

因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;

(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.

∴

=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.

∵=4,∴=4,∴l=8DE.

∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,

∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.

又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,

∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,

∴△ABC的周长为.

     [涉及知识点]垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积

[点评]本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题

[推荐指数]★★★★★

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