2．函数在某点处附近的平均变化率

1．平均变化率的概念

3.过曲线y=f(x)=x³上两点P(1，1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

2.物体按照s(t)=3t²+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为　　　　　 ．

例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则　　　　 ．

解：，

∴

例2．　　　 求在附近的平均变化率。

解：，所以

　 所以在附近的平均变化率为

(二)平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子　 表示, 称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率

2．若设, 　(这里看作是对于x₁的一个“增量”可用x₁+代替x₂,同样)

3．　 则平均变化率为

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率表示什么?

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

　　 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

n　　　 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

n　　　 如果将半径r表示为体积V的函数,那么

分析: ，

⑴　　 当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

⑵　　 当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V₁增加到V₂时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2　 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)= -4.9t²+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

思考计算：和的平均速度

在这段时间里，；

在这段时间里，

探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t²+6.5t+10的图像，结合图形可知，，

所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：