(人教版第121页 例1)

题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍

变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，

　 求证：PA²+PB²+PC²+PD²=8r².

　　 证明： ，　　

，

　　　　 　，

　，

　　 以上各式相加可证．

变式2：已知△ABC中，，若，求证：△ABC为正三角形.

　 证明：，　 ∴，　 又∵，　 ，

故 ， 知a=b，　 同理可知b=c ，　 故a=b=c ， 得证．

变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证.

[证明] ∵E是对角线AC与BD的交点，∴.

在△OAC中，，

同理有.

四式相加可得：.

变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

求证：

[证法一] ∵E、F分别为DA、BC的中点.

∴

又∵=0①

=0②

①+②，得2=0

∴2

∴

[证法二] 连结EC，EB

∵，①

②

①+②,得2+0=，

∴

又∵③

④

③+④,得

又∵=0，

∴.

2.(人教版第119页 第11题)

已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．

变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 (　　　 )

A．3i+2j　　　　 　　　 B．－2i+3j　　　 　　　 C．－3i+2j　　 　 D．2i－3j

正确答案：选C

变式2：已知向量，，若与垂直，则实数=(　　 )

A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　 C．0　　　　　　　　　　　　 D．2

正确答案：选B

变式3：若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

正确答案：选B

变式4：已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)， c＝(2，y)且a∥b，ac．求|b－c|的值．

解：∵ a∥b，∴ 3x+8＝0． ∴x＝．　　 ∴ b＝(2， ) ．

∵ ac，　　　 ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝．　　 ∴　 c＝(2， )．

而b－c ＝(2，)－(2，)＝(0，－)，

∴ |b－c|＝．

(人教版第118页例5)

已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，试判断的形状，并给出证明．

变式1：是所在的平面内的一点，且满足，则 一定为(　　 )

A．正三角形　 B．等腰直角三角形　 C．直角三角形　　 D．斜三角形

正确答案：选C

变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++＝0，

则O是△ABC的(　　 )

A． 重心　　　　　　 B． 垂心　　　　　　 　 　　 C． 内心　　　　　　　　　　 D． 外心

正确答案：选A

变式3：已知，则△ABC一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形　　　　 C．钝角三角形　　　　 D．等腰直角三角形

正确答案：选B

变式4：四边形中，

(1)若，试求与满足的关系式；

(2)满足(1)的同时又有，求的值及四边形的面积。

解：　

(1)　　 则有

　　 化简得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)

又　 则

化简有：　　　　　　　　　　　

联立

解得　 或　　　　　　　　　　　　　　　

　　则四边形为对角线互相垂直的梯形

当　 　

　此时

当　 　

此时　　　　　　　　　　　　　

2.(人教版第116页例4)

已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与ab互相垂直？

变式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，则k的值为(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．1

正确答案：选B

变式2：已知|a|＝1，|b| ＝且(a－b)⊥a，则a与b夹角的大小为　 45º　　 ．

解：

5．(人教版第116页例3)

已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为，求 (a + 2b)·(ab) ．

变式1：已知那么与夹角为

A、　　　　 　　B、　　　　 　C、　 　　　　D、

正确答案：选C

变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则(2a – b)·a等于

　 (A)15　　　　　　　　 　 (B)12　　　　　　 　　 (C)6　　　　　　　　 (D)3

正确答案：选B

变式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S_△ABC=，则·等于(　　 )

A.－2　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.±2　 　　　　　　 D.±4

正确答案：选C

变式4：设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

　 解：∵，故，

解之 ．

另有，解之，

∴．

2.(人教版第110页例8)

设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，．

(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标

变式1：已知两点，，，则P点坐标是　 (　　 )

A． 　　B．　 　C．　 　　D．

正确答案：选B

变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，

若＝a，＝b，则＝　　 　，

＝　　 　　　　　 (用a、b表示)

2.(人教版第109页例6)

已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．

变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为(　 )

A．　　　　　　　　　　 B．

C． 或　　　　 D． 或

正确答案：选C

变式2：已知a，b，当a+2b与2a－b共线时，值为 (　　 )

A．1　　　　　 B．2　　　　 C．　　　 　D．

正确答案：选D

变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与方向相反的单位向量是(　　 )

A．(0,1) 　　　　　 B．(0,－1)　　　 　 C． (－1,1)　　　　 D．(1,－1)

正确答案：选A

变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

　 解：因为 ka－b ，a+3b．

由已知得，　 解得 ，

此时，ka－b ，a+3b，二者方向相反．

4．(人教版第102页第13题)

已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：

变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

求证：.

证明：如图，连接EB和EC ，

　 由和可得，　 (1)

　 由和可得，　 (2)

(1)+(2)得， 　　　　(3)

∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，

代入(3)式得，

3．(人教版第98页例6)

如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作a + b，a + 2b，

a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．

证明：∵a + 2b，2a + 4b，

∴ 　所以，A、B、C三点共线．

变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．

解：a + b ，a + 2b

由A、B、C三点在同一直线上可设，

则 　　所以 　　即 为所求．

2.(人教版第96页例4)

如图，在平行四边形ABCD中，a ，b ，

你能用a，b表示向量 ，吗？

变式1：如图，在五边形ABCDE中，

a ，b ，c ，d ，

试用a ，b ， c ， d表示向量和.

解：( a + b + d )

( d + a + b +c )

变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，a ，b

则下列各表述是正确的为( 　)

A．　 　　B．　

C．a + b 　　　　D．(a + b)

正确答案：选D

变式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则(　　 )

A.　 a+b+c+d=0　　 　　　　　　　　　　 　　 B.　 a－b+c－d=0

C.　 a+b－c－d=0　　　　　　　　　　　 　　 D.　 a－b－c+d=0

正确答案：选A

变式4：在四边形ABCD中，若，则此四边形是(　)

A．平行四边形　　B．菱形　　C．梯形　　 　D．矩形

正确答案：选C

变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．充分但不必要条件　　 　　　　　　　　　　　 B．必要但不充分条件　

?　　 C．充要条件　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

正确答案：选C

变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　 )

A.平行四边形　　　　　　　　　　 B.矩形　　　　　　　　　　　　 C.梯形　　　　　　　　　　　　 D.菱形

[解析] ∵==－8a－2b=2，∴.

∴四边形ABCD为梯形.

正确答案：选C

变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于(　 )

A.λ(+),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.λ(+),λ∈(0,)

C.λ(－),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.λ(),λ∈(0,)

[解析] 由向量的运算法则=+，而点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||,∴=λ(+),λ∈(0,1).

正确答案：选 A

变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式：　 ①=－ 　　　　②= +　

③=－ +　 　　　④++=

其中正确的等式的个数为(　　 )

A.1　　　　　 　　　 B.2 　　　　　　　　 C.3　　　　　 　　　 D.4

正确答案：选B

1．(人教版P85例2)

　 如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与、、相等的向量。

变式1：

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与、共线的向量。

解：

变式2：

如图2，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：