2．用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为(取)

　　　 　A．　　　 B．　 C．　　　 D．

1. 大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是半径匀速膨胀的。上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像？

9．　 解法一：

①设=，=，=

令=λ=λ(λ≠0)=-=λ-

=-=λ-　

依题得：·=0 ，·=0，·=1/2 a²

·=(λ-)·(λ-)=λ²²-λ-λ+

　　　　　 =λ²²-λ =(λ²-λ/2)a² =0

所以λ=1/2 ，即点M为BC的中点

②设点H为点C在平面AMC₁上的射影

令= 且x+y+z=1

，由又由

得，点C到平面AMC₁的距离为a

③平面AMG的法向量为

平面AC₁C的法向量为，其中N为AC的中点

，，，

　 则二面角M-AC₁-C为45°

解法二：

②　　　 ∵C₁C⊥面ABC；　　 C₁M⊥AM　　　 由三垂线定理的逆定理解CM⊥AM

∵△ABC为正三角形，AM为△ABC的中线，即点M为BC的中点

②利用等积法

Vc-AMC₁=Vc₁-AMC　 可得C到平面AMC₁的距离为 a

③过M作ME⊥AC，垂足为E，过E作EF⊥AC₁交AC₁于点F，连MF，则∠EFM为二面角M-AC₁-C的平面角，易得∠EFM=45°

8．方案一：

　 (Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：过点B作BE//CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.　 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　　

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　 ∴AB=2，

故所求的二面角为

方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，.

(Ⅰ)证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

　 (Ⅱ)解：因

(Ⅲ)解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在

使

要使

为所求二面角的平面角.

7．方法一：①∵M、N分别是点AB、PC的中点，可得=1/2 (+)由于·=1/2(+)·=1/2(·+·)=0

　·=1/2 (+)·(-)=1/2(+)(-)=0

∴MN⊥CD　 MN⊥DP ∴MN⊥平面PCD =>平面MND⊥平面PCD

②∵底面的法向量为，得平面MND的法向量为=λ+μ+

　·=(λ+μ+)·(-)= -λ·+μ·= -a²+μa²=0　　　∴λ=μ

·=(λ+μ+)·1/2 (+)=1/2 (||²+λ·)=1/2 (a²+λa²)=0　　　∴λ=M= -1

∴= --+　cosθ= 　=　　∴二面角N-MD-C为60

解法二：①连PM、MC　　易得PM=MC　 又N为PC的中点，∴MN⊥PC

取DC的中点为Q。连MQ　 ，NQ　　则NQ//PD　 MQ//AD

∵PA⊥面ABCD，又DA⊥CD　　　由三垂线定理的逆定理得PD⊥CD

∴NQ⊥CD，MQ⊥CD　　　　　　　 ∴CD⊥面MNQ　 ∴CD⊥MN

∴MN⊥平面PCD ，MN 　面MND　　　　 ∴平面MND⊥平面PCD。

①连AC取AC的中点O，则NO⊥平面ABCD

过O作OE⊥DM 连NE 由三垂线定得得NE⊥DM

∴∠NEO为二面角N-MD-C的平面角

其中NO=PA=a；　　　 AC= a　 DM= 　a

OE=　 tan∠NEO=

∴∠NEO=60°，即二面角N-MD-C为60°

1、C　　 2 、A　　 3、 C　 　　4、B　　　 5、A　　　　 6、　　　

9、如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直

角顶点的等腰直角三角形：

①求证：点M为边BC的中点

②求点C到平面AMC₁的距离

③求二面角M-AC₁-C的大小

第23讲　空间角与距离(2)

[课前热身]1、C 2、A　 3、B　 4、30　 度5、18π

[例题探究]

例1: (I)证明：∵

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。

故PA⊥平面ABC

又∵

而

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB

∴PB⊥平面CEF

(II)由(I)知PB⊥CE,　 PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，

EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角。

二面角B-CE-F的大小为

例2．解法一：(1)∠PMD为二面角P－MN－D的平面角。…………4分

　　　　　　　　 计算得二面角P－MN－D的大小为120°。…………8分

　　　　　 (2)①若∠CDN＝90°，与题意不符………………10分

②若∠DCN＝90°，可算得…………12分

③若∠DNC＝90°，可算得…………15分

　　　　 解法二：用向量方法(略)

例3：(1)当　

证明：取PD中点E，则EF//CD，且

∴四边形ABFE为平行四边形.　

∴BF//AE. 又AE平面PAD　 ∴BF//平面PAD　

(2)平面ABCD，即是二面角的平

面角　

为等腰直角三角形，

平面PCD　 又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B-PC-D的大小为90°.　

(3)在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　

在，

在代入得：

即点E到平面PBC的距离为　

又点A到平面PBC的距离为

[冲刺强化训练23]

8、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，

底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，

M是PB的中点。

(1)证明：面PAD⊥面PCD；

(2)求AC与PB所成的角；

(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

7、如图，PA矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，　 M、N分别是AB、PC的中点，

(1)证明平面MND平面PCD；

(2)若AB=，求二面角N-MD-C的大小。

6、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于______．