3、解析：(1)设滑块到达B点的速度为v，由机械能守恒定律，有　 　.

(2)滑块在传送带上做匀加速运动，受到传送带对它的滑动摩擦力，有mg =ma,滑块对地位移为L，末速度为v₀，则，得

(3)产生的热量等于滑块与传送带之间发生的相对位移中克服摩擦力所做的功，即

为带与滑块间的相对位移，设所用时间为t，则，得。

2、解析：(1)根据题意，小球在金属板间做平抛运动。水平位移为金属板长L=20cm，竖直位移等于，根据平抛运动规律：　　　　 　　　　

(2)欲使小球不偏转，须小球在金属板间受力平衡，根据题意应使金属棒ab切割磁感线产生感应电动势，从而使金属板A、C带电，在板间产生匀强电场，小球所受电场力等于小球的重力。

由于小球带负电，电场力向上，所以电场方向向，A板必须带正电，金属棒ab的a点应为感应电动势的正极，根据右手金属棒ab应向右运动。

设金属棒ab的速度为V₁，则：E=BLV₁ 金属板A、C间的电压：　　 金属板A、C间的电场

小球受力平衡：　　 　　　联立以上各式解得：

(3)当金属棒ab的速度增大时，小球所受电场力大于小球的重力，小球将向上做类平抛运动，设金属棒ab的速度达到V₂，小球恰沿A金属板右边缘飞出。

根据小球运动的对称性，小球沿A板右边缘飞出和小球沿C板右边缘飞出，其运动加速度相同，故有：　　　　 根据上式中结果得到：

所以若要使小球能射出金属板间，则金属棒ab的速度大小：(也给分)方向向右。

1、解：(1)对于在半径R上运动的任一星体，由牛顿第二定律：

　　 得：　　　

(2)设第二种形式下星体之间的距离为r，它们之间的万有引力：

每个星体受到其他两个星体的合力为

由牛顿第二定律：　　　　 其中　　 得：

3．(20分)如图所示，一质量为m的滑块从高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，槽的底端B与水平传A带相接，传送带的运行速度为v₀，长为L,滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好被加速到与传送带的速度相同．求：

(1)滑块到达底端B时的速度v；

(2)滑块与传送带间的动摩擦因数；

(3)此过程中，由于克服摩擦力做功而产生的热量Q.

2010届计算题拿分训练(6)答案

2．(18分)如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm。导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中。一根电阻为r=0.1Ω的金属棒ab可紧贴导轨左右运动。两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻R=0.4Ω。其余电阻忽略不计。已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=－10^－3C的小球以某一速度v₀沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板(g取10m/s²)。求：

(1)小球的速度v₀；

(2)若使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小和方向；

(3)若使小球能从金属板间射出,则金属棒ab匀速运动的速度应满足什么条件？

1．(17分)宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为。

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

(2)假设两种形式星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?

向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。

[例题解析]

例1　 设a₀为单位向量，(1)若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a₀;(2)若a与a₀平行，则a=|a|·a₀；(3)若a与a₀平行且|a|=1，则a=a₀。上述命题中，假命题个数是(　　 )

A.0　　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　 D.3

解析　 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a₀模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若a与a₀平行，则a与a₀方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|a₀，故(2)、(3)也是假命题。综上所述，答案选D。

注　 向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。

例2　 已知a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，

(1)用k表示a·b;

(2)求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。

解　 (1)要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得

|ka+b|²=(|a－kb|)²

k²a²+b²+2ka·b=3(a²+k²b²－2ka·b)

∴8k·a·b=(3－k²)a²+(3k²－1)b²

a·b =

∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，

∴a²=1, b²=1,

∴a·b ==

(2)∵k²+1≥2k，即≥=

∴a·b的最小值为，

又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1

∴=1×1×cos。

∴=60°,此时a与b的夹角为60°。

注　 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|²=|(a+b)²|=a²+b²+2a·b或|a|²+|b|²+2a·b

例3 已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°, x=2a－b,y=3b－a,则x与y的夹角是多少？

解　 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°,

得a·b=|a|·|b|·cosα=。

要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,x·y的值。

∵|x|²=x²=(2a－b)²=4a²－4a·b+b²=4－4×+1=3，

|y|²=y²=(3b－a)²=9b²－6b·a+a²=9－6×+1=7.

x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a²－3b²+a·b

　　　　　　　　 =7a·b－2a²－3b²

　　　　　　　　 =7×－2－3=－，

又∵x·y=|x|·|y|·cosα，即－=·cosα

∴cosα=－，α=π－arccos。

注　 在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°。由向量减法的几何意义，得

=－=2a－b。

由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.

例4　 讨论|a－b|与a,b的和或差的模的大小关系。

解　 如图：

(1)当a与b不平行时，a,b以及a－b可以构成一个三角形，如图，于是|| a |－|b||<|a－b|<|a|+|b|

(2)当a与b平行时，如果a与b的方向相同，则有|a－b|=||a|－|b||，其中当|a|≥|b|时，有

|a－b|=|a|－|b|，

当|a|<|b|时，有|a－b|=|b|－|a|。

如果a与b的方向相反，则有

|a－b|=|a|+|b|

注　 利用几何意义(三角形的两边之和大于第三边)解向量中的有关问题是常用方法。

例5　 (1)已知a,b是两个非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角；

(2)已知：|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。

解　 (1)∵a+3b与7a－5b垂直，∴(a+3b)·(7a－5b)=0,

即7|a|²+16a·b－15|b|²=0，　 ①

又∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)=0。

即7|a|²－30a·b+8|b|²=0。　 ②

①－②得46a·b=23|b|²,得a·b=|b|²,

代入①可得|a|=|b|，设所求a与b的夹角为θ，则

cosθ===,∴θ=60°。

(2)由已知

a·b=|a|·|b|·cos45°=3·=3。

∵a+λb与λa+b夹角为锐角，

∴(a+λb)·(λa+b)>0，即a·bλ²+(a²+b²) λ+a·b>0。

把a·b=3，a²+b²=|a|²+|b|²=2+9=11代入得3λ²+11λ+3>0，

解之得λ<或λ>，此即所求λ的取值范围。

例6　 如图所示，已知四面体O－ABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PM⊥QN。

证明　 ∵M是BC的中点，连结OM，

∴=(+)。

同理由N是AC的中点，得=(+)。

∵=+=(++)

　　 =(－+)=(+)，

=+=(++)=(－+)=(+)= (－)。

∴·=(+)·(－)=(－)。

∵||=||，∴·=0，即PM⊥QN。

例7如图，设G为△OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知=h,=k,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T。求证：

(1)+=3；

(2)≤T≤S。

证明　 (1)连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点，

∴=(+)，

==+。　 ①

设G分PQ所成比为t：(1－t)，则=(1－t) +t,

而=h,=k,∴=(1－t)h+tk。②

比较①，②得

(1－t)h=,tk=，即=3(1－t), =3t,∴+=3。

(2)∵∠POQ=∠AOB，∴==·=hk。

由题(1)知k=>0，3h－1>0,∴=。

又－=－=，

－=－=，且依题意0<h≤1,0<k≤1,

∴　 1－k=1－=≥0,∴≥，≤。

因此，S≤T≤S成立。

注　 解本题的关键是理解向量各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。

例8　 将函数y=2x²进行平移，使得到的图形与抛物线y=－2x²+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。

解法一　 设平移向量a=(h,k)，则将y=2x²按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(x－h)²+k。

设M′(m,n)和M′(－m,－n)是y=－2x²+4x+2与y=2(x－h)²+k的两个交点，则：

解得：或

∴点(1，4)和点(－1，－4)在函数y=2(x－h)²+k的图像上

∴

故所求解析式为：y=2(x+1)²－4，即y=2x²+4x－2

解法二　 将y=2x²按向量a=(h,k)平移，设P(x,y)为y=2x²上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′,y′)，则

故

∴y－k=2(x－h)²是平移之后的函数图像解析式。由

消去y得：4x²－4(h+1)x+2h²+k－2=0

又∵两交点关于原点对称

∴x₁+x₂=0,即=0,h=－1

又y₁+y₂=0,

∴2x₁²－4hx₁+2+k+2x₂²－4hx₂+2+k=0

∴2(x₁²+x₂²)+4(x₁+x₂)=－4－2k

∴2(x₁+x₂)²+4(x₁+x₂)－4x₁·x₁=－4－2k

∵x₁·x₂=，

∴－4×=－4－2k,

∴k=－4

∴y=2(x+1)²－4,即y=2x²+4x－2。

例9　 如图正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值。

解析　 创造使用求角公式的条件，为此须求·。

=+=+，=+=+，

∴·=(+)·(+)

　　　　　 =·+(·+·)+·

∵⊥，⊥，∴ ·=0，·=0。

又∵=， =，∴·==||²=。

于是·=(||²+||²)=||²，

又||²=||²+||²=||²+||²=||²，

∴cos∠DOE====

注　 利用向量解几何题，关键是将有关线段设为向量，不同的设法可出现不同的解法。利用向量解平面几何有时特别方便，但要注意的一点，不宜搞得过难，因为高考在这方面要求不高，只是在数学竞赛中有较高要求。

3.向量的应用

(1)向量在几何中的应用

(2)向量在物理中的应用

2.向量的概念

(1)向量的基本概念

①定义

既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量(平行向量)，相等向量，相反向量。

③表示法

几何法：画有向线段表示，记为或α。

坐标法：=xi+yj=(x,y)。

=(x₂－x₁,y₂－y₁)，其中A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

(2)向量的运算

①向量的加法与减法

定义与法则(如图5－1)：

a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂),a－b=(x₁－x₂,y₁－y₂)。

其中a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)。

运算律：

a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。

②向量的数乘(实数与向量的积)

定义与法则(如图5－2)：

λa=λ(x,y)=(λx, λy)

运算律

λ(μa)=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。

③平面向量的数量积定义与法则(如图5－3)：

a·b=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π)

0·a=0,a·b=x₁x₂+y₁y₂[a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)]。

运算律：

a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)，(a+b)·c=a·c+b·c。

(3)定理与公式

①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a

②平面向量基本定理：如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。任一向量a，有且只有一对实数λ₁,λ₂使

a=λ₁e₁+λ₂e₂

③两向量垂直的充要条件

(i)a⊥ba·b=0

(ii)a⊥bx₁·x₂+y₁·y₂=0(a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂))

④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。

⑤数值计算公式

两点间的距离公式：

||=[P₁(),P₂(x₂,y₂)]

线段的定比分点坐标公式：

[P₁ (x₁,y₁),P₂ (x₂,y₂),P(x,y), 　=λ]

中点坐标公式：

两向量的夹角公式：

cosθ==

[0°≤θ≤180°,a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)]

⑥图形变换公式

平移公式：

若点P₀(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，

则

⑦有关结论

(i)平面内有任意三个点O，A，B。

若M是线段AB的中点，则(+);

一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点(即=λ，λ≠－1)则=+，此即线段定比分点的向量式(注意与例7(1)表述方法的不同，例7(1)用时很方便)。

(ii)有限个向量a₁,a₂,…,a_n相加，可以从点O出发，逐一作向量=a₁, =a₂,…, =a_n,则向量即这些向量的和，即

a₁+a₂+…+a_n=++…+=(向量加法的多边形法则)。

当A_n和O重合时(即上述折线OA₁A₂…A_n成封闭折线时)，则和向量为零向量。

注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。

1.平面向量知识结构表