摘要：向量的概念 (1)向量的基本概念 ①定义 既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小也即是向量的长度.叫做向量的模. ②特定大小或特定关系的向量 零向量.单位向量.共线向量.相等向量.相反向量. ③表示法 几何法:画有向线段表示.记为或α. 坐标法:=xi+yj=(x,y). =(x2-x1,y2-y1).其中A(x1,y1),B(x2,y2) (2)向量的运算 ①向量的加法与减法 定义与法则: a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2). 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). 运算律: a+b=b+a,,a+O=O+a=a. ②向量的数乘 定义与法则: λa=λ 运算律 λa=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb. ③平面向量的数量积定义与法则: a·b=|a||b|cosθ 0·a=0,a·b=x1x2+y1y2[a=(x1,y1),b=(x2,y2)]. 运算律: a·b=b·a,=λ·c=a·c+b·c. (3)定理与公式 ①共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ.使得b=λ a ②平面向量基本定理:如果e1.e2是同一平面内的两个不共线向量.那么对于这一平面内的.任一向量a.有且只有一对实数λ1,λ2使 a=λ1e1+λ2e2 ③两向量垂直的充要条件 (i)a⊥ba·b=0 (ii)a⊥bx1·x2+y1·y2=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2)) ④三点共线定理:平面上三点A.B.C共线的充要条件是:存在实数α.β,使=α+β.其中α+β=1.O为平面内的任一点. ⑤数值计算公式 两点间的距离公式: ||=[P1(),P2(x2,y2)] 线段的定比分点坐标公式: [P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =λ] 中点坐标公式: 两向量的夹角公式: cosθ== [0°≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)] ⑥图形变换公式 平移公式: 若点P0平移至P. 则 ⑦有关结论 (i)平面内有任意三个点O.A.B. 若M是线段AB的中点.则(+); 一般地.若P是分线段AB成定比λ的分点(即=λ.λ≠-1)则=+.此即线段定比分点的向量式表述方法的不同.例7. (ii)有限个向量a1,a2,-,an相加.可以从点O出发.逐一作向量=a1, =a2,-, =an,则向量即这些向量的和.即 a1+a2+-+an=++-+=. 当An和O重合时(即上述折线OA1A2-An成封闭折线时).则和向量为零向量. 注意:反用以上向量的和式.即把一个向量表示为若干个向量和的形式.是解决向量问题的重要手段.

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