2.给定空间中的直线l及平面.条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的( C　　 )

?A.充要条件?　　　　 B.充分非必要条件?C.必要非充分条件　 ?　 D.既非充分又非必要条件　

1.下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面.　其中正确的命题有　　　　　 ( C　　 )　

?A.2个?　　　　　　 B.3个?　　　　　 C.4个?　　　　　　　 D.5个　

五)典例分析

例1如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是BC和A₁B₁的中点.求证：MN∥平面AA₁C₁.　

证明　 设A₁C₁中点为F，连接NF，FC，　∵N为A₁B₁中点，　∴NF∥B₁C₁，且NF=B₁C₁，　

又由棱柱性质知B₁C₁ BC，又M是BC的中点，　∴NF　 MC，

∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF，又CF平面AA₁C₁，　MN平面AA₁C₁，　∴MN∥平面AA₁C₁.

　 例2如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁，BC₁上分别有两点E，F，且B₁E=C₁F.求证：EF∥平面ABCD.　证明　 方法一 　分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.　

∵BB₁⊥平面ABCD，　∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，　∵EM∥BB₁，FN∥BB₁，　

∴EM∥FN.　又∵B₁E=C₁F，∴EM=FN，　故四边形MNFE是平行四边形，　

∴EF∥MN.　又MN平面ABCD，EF平面ABCD.　所以EF∥平面ABCD.　

方法二　 过E作EG∥AB交BB₁于G，　连接GF，则，　∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，　

∴，∴FG∥B₁C₁∥BC，　又EG∩FG=G，AB∩BC=B，　

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，　∴EF∥平面ABCD.　

例3如图，平面∥平面，A∈，C∈，B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.

(1)求证：EF∥;　(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.　证明(1)　 ①当AB，CD在同一平面内时，　由∥，平面∩平面ABDC=AC，　平面∩平面ABDC=BD，

∴AC∥BD，　　 ∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥.　

②当AB与CD异面时，　设平面ACD∩=DH，且DH=AC.　

∵∥，∩平面ACDH=AC，　∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，　又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，　又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.　

∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.　

(2)解　 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.　

∵E，F分别为AB，CD的中点，　∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，　

∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角)，　∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM中由余弦定理得，　

EF==,即EF=或EF=.

例4如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中点.求证：　

(1)BF∥HD₁；　(2)EG∥平面BB₁D₁D；　(3)平面BDF∥平面B₁D₁H.　

证明　 (1)如图所示，取BB₁的中点M，易证四边形HMC₁D₁是平行四边形，∴HD₁∥MC₁.　

又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁.　

(2)取BD的中点O，连接EO，D₁O，　　 则OEDC，　 　又D₁GDC，∴OED₁G

∴四边形OEGD₁是平行四边形，∴GE∥D₁O.　又D₁O平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D.　

(3)由(1)知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁平面HB₁D₁，BF、BD平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，　

DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H.

四)课前热身

1.下列正确命题的个数是 ①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；?③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.　(　 B　 )

?A.0?　　　　　　　　　 B.1?　　　　　　　　　 C.2?　　　　　　　　　　　 D.3　

2.下列条件中，能判断两个平面平行的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )　?A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面　?B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面　

?C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面　?D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面　

3.(2009·武昌调研)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是　　　　　　　　　　　　　　 (C?　 )

?A.若m⊥，m⊥n，则n∥　?B.若m∥，n∥，则m∥n　

?C.若m，n∥，则m∥n　?D.若m、n与所成的角相等，则m∥n　

4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：　①若a∥b,b,则a∥;　　　 ②若a∥b,a∥,则b∥;　③若a∥,b∥,则a∥b.　其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( A　 )

?A.0　　　　　　　　 ?B.1　　　　　　　　　 C.2 ?　　　　　　 D.3　

三)面面平行的性质

1.两个平面平行，其中一个面内的直线平行与另一个平面；2.若两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行；

3.一条直线与平行平面中的一个相交，则与另一个平面相交；4.夹在平行平面之间的平行线段长度相等；

5.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。

三)面面平行的判定：

1.判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

2.垂直于同一条直线的两个平面平行;　　 3.平行于同一个平面的两个平面平行.

4.设、分别是平面、的法向量，若∥，则∥

二)直线与平面平行的判定和性质

1、线面平行的判定定理： 　　即线线平行线面平行　

　　 2、线面平行的性质定理： 　即线面平行线线平行

3、线面平行的判定方法：①定义法；②反证法.③判定定理： ；

④(面面平行的性质) ；　

4、向量：①②

一)直线与平面的位置 　(3) 在平面内；记为,称为直线在平面内.

例1如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是BC和A₁B₁的中点.求证：MN∥平面AA₁C₁.　

例2如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁，BC₁上分别有两点E，F，且B₁E=C₁F.求证：EF∥平面ABCD.　

例3如图，平面∥平面，A∈，C∈，B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.

(1)求证：EF∥;　(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.　

例4如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中点.求证：　

(1)BF∥HD₁；　(2)EG∥平面BB₁D₁D；　(3)平面BDF∥平面B₁D₁H.　

4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：　①若a∥b,b,则a∥;　　　 ②若a∥b,a∥,则b∥;　③若a∥,b∥,则a∥b.　其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( )

?A.0　　　　　　　　 ?B.1　　　　　　　　　 C.2 ?　　　　　　 D.3