例1  设展开式中,第二项与第四项的系数之比为,试求含的项.

误:第二项的系数为,第四项的系数为,依题意得.

化简,得.

解此方程并舍去不合题意的负值,得.

设展开式中项为第项,

则.

由,得,即展开式中项为.

析:展开式的第二项为,所以与的系数之比为,这与已知第二项与第四项的系数之比为矛盾,可见上面解答有误.错误根源在于将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中的某项系数”混为一谈.事实上,这是两个既有联系又有区别的概念,当二项式的两项本身的系数都为1时,展开式的二项式系数就是各项系数;当二项式的两项本身的系数不都为1时,则另作别论.本题所给二项式第二项的系数不是1,而上面解答却按照是1的情形处理,因此势必出错.

正:展开式的第二项与第四项分别为,.

依题意得..

解此方程舍去不合题意的负值,得.

设展开式中项为第项,

则.

由,得,即展开式中项为.

例2  若展开式中,第5项是常数,问中间项是第几项?

误:因为,若第5项是常数,

则有,解得.

由于n为自然数,所以此题无解.

析:此题并不是无解,上述是错解.因为二项展开式的项是按照第一个数的降幂排列的,所以,第5项应为,即.所以中间项是第9项.

 由此可以看出,使用二项展开式时要严格按照中第一个数a的降幂排列顺序解

题,不可随意颠倒a,b顺序.

例3  设,试问展开式中第几项最大?

误:因为的幂指数是偶数,

所以它的展开式的中间一项最大.

∵此展开式共有51项,∴展开式中第26项最大.

析:上面解答将二项展开式中某一项的系数与这一项的值混为一谈,错误地认为系数最大时,这一项也最大.

正:设第项为且最大,则有.

∴展开式中第30项最大.

 0  308891  308899  308905  308909  308915  308917  308921  308927  308929  308935  308941  308945  308947  308951  308957  308959  308965  308969  308971  308975  308977  308981  308983  308985  308986  308987  308989  308990  308991  308993  308995  308999  309001  309005  309007  309011  309017  309019  309025  309029  309031  309035  309041  309047  309049  309055  309059  309061  309067  309071  309077  309085  447090 

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