上有最大值3.那么在上的最小值是( C )——青夏教育精英家教网—

4、上有最大值3，那么在上的最小值是( C )

3、若函数为增函数，则( D )

2、函数是减函数的区间是( D )

1、．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( C )

A．①、②　　　　　 B．①、③　　　　　 C．③、④　　　　　 D．①、④

3.利用导数证明不等式

例3(2007年山东卷理)设函数,其中.

(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;

(II)求函数的极值点;

(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.

解：(I) 函数的定义域为.

，

令，则在上递增，在上递减，

.　　当时，，

在上恒成立.

即当时,函数在定义域上单调递增。

(II)分以下几种情形讨论：

(1)由(I)知当时函数无极值点.

(2)当时，，

时，　　　时，

时，函数在上无极值点。

(3)当时，解得两个不同解

，.

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.

当时，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点

(III) 当时，　

令

则在上恒正，

在上单调递增，当时，恒有.

即当时，有，

对任意正整数，取得

点评：函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是是和定义域共同作用的结果；(II)需要分类讨论，由(I)可知分类的标准为(III)构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”.

例4已知函数，，证明：

证：函数的定义域为．＝－1＝－　　

当x∈(－1，0)时，＞0，当x∈(0，+∞)时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴ ．　　

令则＝．

∴ 当x∈(－1，0)时，＜0，当x∈(0，+∞)时，＞0．　

∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．

综上可知，当时，有．　

通过以上例题，我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。总之，利用导数证明不等式的关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，因此，希望同学门能认真对待，并通过适当的练习掌握它

[专题突破]

1.利用导数处理方程问题

例1(2009江西卷文)设函数．　　　　　

(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．　　　　　

解：(1) ,

　　　因为,, 即恒成立,

　　　所以 , 得，即的最大值为

　　　 (2)　因为当时, ;当时, ;当时, ;

　　　　　所以当时,取极大值 ;　　　　　　

　　　　　当时,取极小值 ;

　　　　故当或时, 方程仅有一个实根. 解得或.

2利用导数研究函数的图像变化规律

例3(2009陕西卷文)已知函数

求的单调区间；

若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

解析：(1)

当时，对，有

当时，的单调增区间为

当时，由解得或；

由解得，

当时，的单调增区间为；的单调减区间为。

(2)因为在处取得极大值，

所以

由解得。

由(1)中的单调性可知，在处取得极大值，

在处取得极小值。

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，

结合的单调性可知，的取值范围是。

2．　在验证力的平行四边形定则时,弹簧测力计必须保持与木板________,且拉力应沿轴线方向,以减小实验误差.测量前应先检查弹簧测力计的零点是否准确,注意使用中不要超过___________,弹簧测力计的读数应估读到其_________的下一位.

[考点突破]

考点1：探究弹力和弹簧伸长关系时的注意事项

(1)　　　增加钩码时要保证弹簧处在弹性限度内。

(2)　　　实验中要用的是弹簧的伸长量而不是弹簧的总长。

[典题例析]

类型一：探究弹力和弹簧伸长的关系：

例1.下表是某同学为探究弹力和弹簧伸长的关系所测的几组数据:

(1)在图中的坐标线上作出 F -x图象

(2)写出曲线所代表的函数(x用 m 作单位)

(3) 解释的数表达式中常数的物理意义

例2.某同学用如图所示装置做探究弹力和弹簧伸长关系的实验。他先测出不挂砝码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂仁砝码，并逐个增加砝码，测出指针所指的标尺刻度，所得数据列表如下：(重力加速度 g 取 9.8m /s²)

( 1 )根据所测数据，在图的坐标纸上作出弹簧指针所指的标尺刻度二与砝码质量 m 的关系曲线。

( 2 )根据所测得的数据和关系曲线可以判断，在_________范围内弹力大小与弹簧伸长关系满足胡克定律。这种规格的弹簧劲度系数为__________ N / m 。

类型二:验证力的平行四边形定则实验步骤的考查

例3.将橡皮筋的一端固定在 A 点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为 5N 、最小刻度为0.1N 的弹簧测力计。沿着两个不同的方向拉弹簧测力计。当橡皮筋的活动端拉到 O 点时，两根细绳相互垂直，如图所示。这时弹簧测力计的读数可从图中读出。

( 1 )由图可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为_______N 和______ N (只需读到 0.1N )。

( 2 )在方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力。

例4.在做“验证力的平行四边形定则”实验时 , 橡皮条的一端固定在木板上，用两个弹簧秤把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点．以下操作中错误的是(　　 )

A .同一实验过程中，O点位置允许变动

B. 实验中,弹簧秤必须与木板平行,读数时视线要正对弹簧秤刻度线

C. 实验中，先将其中一个弹簧秤沿某一方向拉到最大量程然后只需调节另一弹簧秤拉力的大小和方向，把橡皮条另端拉到 O 点

D .实验中，把橡皮条另一端拉到 O 点时，两弹簧秤之间夹角应取 90⁰，以便于算出合力大小

针对训练：在“验证力的平行四边形定则”实验时，其中的三个操作步骤是：

(1)在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在板上，另一端拴两根细线，通过细线同时用两个弹簧秤互成角度地拉橡皮条，使它与细线的结点达到某一位置O点，在白纸上记下 O 点和两弹簧秤的读数 F_l 和F₂

( 2)在纸上根据F_l 和F₂的大小,应用平行四边形定则作图求出合力 F

( 3)只用一个弹簧秤通过细线拉像皮条，使它的伸长量与两个弹簧秤拉时相同，记下此时弹簧秤的读数F’和细线的方向

以上三个步骤中均有错误或疏漏，指出错在哪里?

在( l )中是________________________________________________________________

在( 2 )中是________________________________________________________________

在( 3 )中是________________________________________________________________

类型三: 验证力的平行四边形定则实验误差分析

例5.在互成角度的两个共点力的合成的实验中采取下列哪些措施可减小实验误差？ (　　 ) A.两个分力之间夹角要尽量大些

B.两个分力大小要尽量大些

C.拉橡皮条的细绳要稍长一些

D. 实验前,先把所用的两个弹簧秤的钩子相互钩住．平放在桌子上，向相反方向拉动，检查读数是否相同

针对训练：图(甲)、(乙)是两位同学在研究“互成角度的两个力的合成”时所得到的实验结果，若按实验中要求的符号表示各个力则可判定其中哪一个实验结果是尊重事实的(　　 )

[问题反思]

1．　弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的______大小相等.

2.　　　多力平衡:任意一个力与其余各力的合力__________,作用在一条直线上,表示这些力的矢量构成一个首尾相连的闭合多边形.

[考点突破]

考点1．临界问题

(1)临界状态和临界条件

　　物理学的研究对象在复杂变化中，包含着量变到质变的过程．即当物质(或物体)从一种运动现象(状态或过程)转变为另一种运动现象(状态或过程)时，必然有一个转折点．达到这个转折点，运动的性质就发生变化，否则只能是数量的积累和保持．这个转折点所对应的状态就是临界状态。

①临界状态--是一种物理现象转变为另一种物理现象、或从一个物理过程转变到另一种物理过程的转折状态。常为“恰好出现”、“恰好不出现”的某种状态。

②临界条件--在临界状态时所对应的条件。

包含着临界状态，临界条件判定的物理习题称为临界问题．临界问题是中学物理解题中的一个重要方面．

(2)解决临界问题的方法

　解决临界问题的关键：在于找出临界状态，及对应的临界条件。

　先找出临界条件，由整体法、隔离法或假设法，根据平衡自相条件，列出方程求解。

(3)常见的几个临界条件是

(1)绳子断与不断的临界问题

　绳子“刚好不断裂、刚好断裂”的临界条件是：绳子中张力达最大值T_max

　绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力。另外还有绳子张紧与松弛的临界条件：绳子张力T＝0。

(2)接触与脱离的临界问题

　两物体间“恰好不脱离、恰好脱离”的临界条件是：相互作用的挤压力(弹力)N=0

　 (3)滑动与不滑动的临界问题

　两物体间“恰好不滑动、恰好滑动”的临界条件是：静摩擦力达最大值f_m

考点2．极值问题

(1)极值：在平衡问题中，某些物理量在变化中可以达到最大值或最小值的现象。

(2)研究极值问题的方法

　 ①解析法：根据平衡条件列出方程，利用数学知识由方程求极值。经常用到的数学知识有二次函数(由根的判别式讨论解的情况)、均分定理、三角函数、几何方法等

　 ②图解法：由平衡条件作出力的矢量图(三力平衡则构成封闭的三角形)，再由矢量图进行动态分析，由相关物理量的取值范围，确定最大值和最小值。

比较：图解法简便、直观；解析法有时会较繁琐。

[典题例析]

类型一、临界条件的应用

例1. 用AB和CD两根绳悬挂一重物，A、C两点在同一水平面上，AB⊥CD，如图所示。若AC=50cm，AB=30cm，AB绳和CD绳各最多能承受5N和4N的拉力，问最多能悬挂多重的物体？　　

例2.如图所示，两木块的质量分别为m₁和m₂，两轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)。整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为(　 )

例3.　如图所示，两个完全相同的球A和B，重力大小为G，两球与水平地面间的摩擦因数都为m，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力F，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为a．问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？

例4.如图所示，质量为kg的A球和质量为3kg的B球被轻质细线连接后，挂在光滑的柱上恰好处于静止状态，已知∠AOB=90º，求OB与竖直方向的夹角α。

类型二、极值问题的方法应用

例5.　如图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60º的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．

例6. 建筑工地上的黄砂，堆成圆锥形，而不管如何堆放，其角度是不变的。若测出其圆锥底的周长为12.5m，高为1.5m，如图所示。试求：

　　 (1)黄砂之间的动摩擦因数。

　　 (2)若将该黄砂靠墙堆放，占场地的面积至少为多少?

例7．如图，拉力F作用在重为G的物体上，使它沿水平地面匀速前进．若物体与地面的动摩擦因数为μ，当拉力最小时力和地面的夹角θ为多大？力的最小值为多少?

[问题反思]

第5课时　共点力平衡综合

[知识回顾]

[考点突破]

考点1．整体法和隔离法

(1)整体法：以几个物体构成的系统为研究对象，只分析外力，不需分析内力。

①优缺点：可以避免分析内力，提高解题效率。但不能求出内力。

②整体法选取物体的原则：相互关联的物体；有共同加速度的物体。

(2)隔离法：把系统分解为若干部分从周围的物体中隔离出来研究。

注意：隔离法中所选取的研究对象，可以是单个物体；可以是几个物体组成的整体；也

可以是物体的一部分。

(3)整体法和隔离法的综合运用：

求系统受到的外力作用时，用整体法；

求系统内各物体(或各部分)之间的相互作用时，用隔离法；

在解答一个问题需要多次变换研究对象时，可以将整体法和隔离法交叉使用。

[典题例析]

例1.如图所示，两块形状相同的质量忽略不计的竖直木块A、B之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，设所有接触面间的动摩擦因数均为μ，则第二块对第三块砖摩擦力的大小为　　 (　　 )

A．0　　 B．mg　　 C．μF　　 D．2mg

例2．如图所示，球的质量为m，斜面体的质量为M，斜面体的倾角为θ＝53°，球光滑，它与墙面、斜面之间没有摩擦力作用．斜面体静止在粗糙的水平面上，这时地面对斜面体的支持力和静摩擦力分别为多大？

例3. 在粗糙的水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量m_l和m₂的木块，m_l＞m₂ ，如图所示，已知三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块　　　　　　　　　　　　　 ( 　　)

A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右

B．有摩擦力的作用．摩擦力的方向水平向左

C．有摩擦力的作用、但摩擦力的方向不能确定，因m₁、

m₂、θ₁、θ₂的数值并未给出

D．以上结论都不对

例4.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30⁰的恒力F，并对小球b持续施加一个向右上偏30º的同样大的恒力F，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

例5 .一个底面粗糙，质量为 m 的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面夹角 30⁰，现用一端固定的轻绳系一质量也为 m 的小球，小球与斜面的夹角为 30⁰，如图所示。 ( 1 )当劈静止时绳中拉力为多少？ ( 2 )若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈支持力的μ倍，为使整个系统静止，μ值必须符合什么条件？