摘要：利用导数证明不等式 例3设函数,其中. (I)当时,判断函数在定义域上的单调性; (II)求函数的极值点; (III)证明对任意的正整数,不等式都成立. 解:(I) 函数的定义域为. . 令.则在上递增.在上递减. . 当时.. 在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增. (II)分以下几种情形讨论: 知当时函数无极值点. (2)当时.. 时. 时. 时.函数在上无极值点. (3)当时.解得两个不同解 .. 当时... 此时在上有唯一的极小值点. 当时. 在都大于0 .在上小于0 . 此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知.时.在上有唯一的极小值点, 时.有一个极大值点和一个极小值点,时.函数在上无极值点 (III) 当时. 令 则在上恒正. 在上单调递增.当时.恒有. 即当时.有. 对任意正整数.取得 点评:函数的单调性.导数的应用.不等式的证明方法.(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是是和定义域共同作用的结果,可知分类的标准为(III)构造新函数为证明不等式“服务 .构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系.用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点.究其原因.应该有三条:这里是知识的交汇处.这里是导数的主阵地.这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握.但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性?因而需要进行分类讨论判断:当参数给出了明确的取值范围后.应根据导函数的特点迅速判断或.参数取某些特定值时.可直观作出判断.单列为一类,不能作出直观判断的.再分为一类.用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点.需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点 . 例4已知函数..证明: 证:函数的定义域为．＝-1＝- 当x∈时.＞0.当x∈时.＜0. 因此.当时.≤.即≤0∴ ． 令则＝． ∴ 当x∈时.＜0.当x∈时.＞0． ∴ 当时.≥.即 ≥0.∴ ． 综上可知.当时.有． 通过以上例题.我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷.总之.利用导数证明不等式的关键是“构造函数 .解决问题的依据是函数的单调性.这一方法在高等数学中应用的非常广泛.因此.希望同学门能认真对待.并通过适当的练习掌握它 [专题突破]

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_3034616[举报]