17. 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是:

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 :

①正比例函数型: ---------------;

②幂函数型: --------------,;

③指数函数型: ------------,;

④对数函数型: -----,;

⑤三角函数型: ----- 。如已知是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则____(答:0)

(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如(1)设函数表示除以3的余数,则对任意的,都有 A、 B、 C、 D、(答:A);(2)设是定义在实数集R上的函数,且满足,如果,,求(答:1);(3)如设是定义在上的奇函数,且,证明:直线是函数图象的一条对称轴;(4)已知定义域为的函数满足,且当时,单调递增。如果,且,则的值的符号是____(答:负数)

(3)利用一些方法(如赋值法(令=0或1,求出或、令或等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若,满足

,则的奇偶性是______(答:奇函数);(2)若,满足

,则的奇偶性是______(答:偶函数);(3)已知是定义在上的奇函数,当时,的图像如右图所示,那么不等式的解集是_____________(答:);(4)设的定义域为,对任意,都有,且时,,又,①求证为减函数;②解不等式.(答:).

12. 函数的对称性。

①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根,则=_____(答:);

②点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;

③点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;

④点关于原点的对称点为;函数关于原点的对称曲线方程为;

⑤点关于直线的对称点为;曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地,点关于直线的对称点为;曲线关于直线的对称曲线的方程为

;点关于直线的对称点为;曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________(答:);

⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点(-2,3)对称,则=______(答:)

⑦形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线

(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称,且图象关于点(2,-3)对称,则a的值为______(答:2)

⑧的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到;的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。

如(1)作出函数及的图象;(2)若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于____对称 (答:轴) 

提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(3)证明图像与的对称性,需证两方面:①证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上;②证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上。如(1)已知函数。求证:函数的图像关于点成中心对称图形;(2)设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程(答:);②证明曲线C与关于点对称。

 0  302526  302534  302540  302544  302550  302552  302556  302562  302564  302570  302576  302580  302582  302586  302592  302594  302600  302604  302606  302610  302612  302616  302618  302620  302621  302622  302624  302625  302626  302628  302630  302634  302636  302640  302642  302646  302652  302654  302660  302664  302666  302670  302676  302682  302684  302690  302694  302696  302702  302706  302712  302720  447090 

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