A．12月10日12:00 B．12月11日 4:00|
数列 (一)数列的概念 涉及的数列及表示 1．数列的定义 2．数列与函数的关系 3．数列的表示法 (1)列举法 (2)图示法 (3)通项公式法 (4)递推公式法 |
典型例题
例1．数列 
共有__________项．
分析：数一个数列的项数都是从1开始的，找项与项数的关系关键是找首项与1的关系．
解：已知数列的项数与数列
的项数相同，
又 
，所以又与数列
的项数相同．
因为 
共有
个数，所以
共有
个数．
因此 
有
个数．
说明：数清项数是解决数列问题的首要问题，在有穷数列中，数列的末项未必是数列的第
项，即有穷数列的项数未必是
．一定要区分有穷数列的末项与通项．
例2．已知数列 
中，
，对任意
，
，都有
则
______．
分析：已知条件 
表示了无数个等式：
，
，
，再加上
这一条件便确定了这个数列，即可递推求出数列的各项．
解：令 
，得
，
，
．
令 
，得
，
．令 
，得
令 
，得
．
说明：本题涉及了方程的思想，同时体现了特殊与一般的关系．也可能有学生看出
就求出了数列的通项公式，用代入法便可求出数列的任意一项，如果希望学生看出这一结果，可将所求换成求项数较大的项．
例3．数列 的通项公式为
，
表示数列
的前
项和，求
．
分析：数列的每一项
，数列的前
项和便抵消了一些项．
解： 
．
说明：可以在此补充裂项求和法，当然裂项法不仅仅针对分式形式的通项公式，只要
的形式就行．
例4．在数列 中，
，那么这个数列中的最大项与最小项的项数为____________．
分析：通过函数 
的取值情况来探求数列的最大项及最小项．
解：函数 
，
其图象是由函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1个单位得到， 
根据图象可得
最小，
最大，即第9项最小，第10项最大．
说明：数列的项与项数构成特殊的函数关系，研究其最值的方法就是求函数最值的基本方法，求函数最值的方法之一是数形结合，即利用函数图象来判断最值．
例5．设数列 各项均为正数的数列，
，且满足：
，
则数列
的通项公式为____________．
分析：解决此问题有两个思路，一是求出数列的前几项，由此猜出数列的通项公式(因为这是填空题)；另一个思路是化简已知递推式(因式分解，降次)，使
与
明确，简洁，便于寻求解决方式．
解：由已知得 
，
，
，
， 
．
于是有 
，
这 
个等式相乘得
，由于
，所以
．
说明：这种方法叫做迭乘法，相类似的还有迭加法．
扩展资料
扩展资料
兔子繁殖问题与斐波那契
裴波那契(Fibonacci leonardo，约1170-1250)是意大利著名数学家． 他最重要的研究成果是在不定分析和数论方面，他的“裴波那契数列”成为世人们热衷研究的问题．
保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘书》，《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”． 如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？可以这样思考：第一个月后即第二个月时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本身，另一对是它生下的幼兔． 第三个月时两对兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成的大兔子．
第四个月时，三对兔子变成了五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这组数可以用图来表示，这组数从三个数开始，每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个月是13对兔子，第七个月是21对兔子……，裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面加上一项1,成为“裴波那契数列”，即：1,1,2，3,5,8,13…． 数列用 
表示有：
出人意料的是，这个数列在许多场合都会出现，在数学的许多不同分支中都能碰到它．
如果把普遍目前数列邻项之比作为一个新数列的项，我们得到： 
，可以证明这个数列的极限是：
，这是非常有名的黄金分割率，大自然中许多现象总是力求接近黄金比
，这个黄金比在科学中甚至艺术中也经常出现．
例如，宽比长的比等于黄金比 时最美：黄金比在古希腊建筑和陶瓷中可以经常见到埋在现代建筑设计等方面也越来越多地显示出黄金比的独特魅力．
裴波那契数列的许多有趣的性质和重要应用，引起了近800年数学历史上许多学者的兴趣，世界上有关裴波那契数列的研究文献多得惊人，裴波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．
后人从裴波那契数列得到一系列的辉煌成果，但是我们不能忘记，这些成果都是起因与裴波那契的《算盘书》中提到的兔子问题．
探究活动
将边长为 
厘米的正方形分成
个边长为1厘米的正方形，数出其中所有正方形的个数．
解：当 
时，共有正方形
个；当
时，共有正方形
个；当
时，共有正方形
个；当
时，共有正方形
个；当
时，共有正方形
个；归纳猜想边长为
厘米的正方形中的正方形共有
个．
习题精选
(1)在数列 中，设
，则通项
可能是( )．
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(2)已知数列 的通项公式是
，若
则
的值为( )．
(A)12 (B)9 (C) 8 (D) 6
(3)点 
，
，
，…，
，…是函数
的图象上的一系列点，其中
，试写出数列
的前5项，并求出 
的值．
(4)已知数列 的前
项和
满足
，求证这个数列各项都等于同一个常数．
表示第一项，用
表示第一项，……，用
．(如幻灯片上的例子)简记为
为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
，这个函数式叫做数列的通项公式．
的通项公式为
；
的通项公式为
；
；
，则
．
层钢管数
，再给定
，便可依次求出各项．再如数列
，这个数列就是
．
，或是正整数集
．