，则
等于( )
A．
B．
C．
D． 
的值为( )
A．－2 B．－1 C．2 D．0
，且
，则
的值是( )
A．
B．
C．
D． 
，则
等于( )
A．
B．
C．
是第三象限角，且
，则
等于( )
A． (五)板书设计
|
二倍角的正弦、余弦、正切 1．复述二倍角公式    2．由  ，
推出半角公式 |
1．课本例 2．例1 3．例2 4．例3 |
练习(投影) 总结提炼 |
典型例题
例1．求 
的值．
分析：逆用二倍角公式，或构造对偶式列方程求解．
解：解法一：
，
∴ 
．
解法二：
原式 
．
解法三：令 
，
．
则 
．
∵ 
，∴ 
．
从而有 
．
小结：对于本题，如若简单地从形式上看，为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子
；或原式
后，简单地应用二倍角的余弦公式都将无益于问题的解决，反而会陷入思维的简单循环之中．因此，当我们面对一个较为陌生的问题时，应认真分析问题的特征，积极地进行联想化归，切实做到缜密稳妥地设计解题思路．
(1)有些数学问题，可根据其本身特点，相应地构设与其相同“匹配”的另一整体，然后由其“相依而伴”的关系进行求解．如解法三，这种解题方法称为积式配对．
(2)角度成等比(公比为2)的同名弦函数的乘积通常可按解法一、二来求解．
例2．设
，
，求
的值．
分析：观察问题的角度状况，从已知条件和被求式的角度差异来看，一方面应将条件中的角度变换为 
、
，另一方面应将被求式中的角度
、
变换为
、
．要实现上述想法只需将两已知条件相乘，将被求式利用升幂公式即可办到．解：两已知条件相乘，可得
，
化简为 
，
∴ 
．
小结：根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的，这就是解答本题的脉络．
例3．已知
，
．求
的值．
分析：若对结论“切化弦”后再化简不难发现，只需求出
和
的值即可，注意到
，就可以发现求解的途径了．
解：∵ ，∴ 
．
又∵ ，∴ 
，
∴ 
，
．
又∵ 
，
∴原式 
．
小结：(1)本题也可以由 得
，再将要求解的三角式化为用
表示的形式．
(2)本题解法中巧妙地利用了“角的变换” ，使求解过程不致于繁杂．
(3)若不注意 
的范围，就会导致由
求出
而不知取舍．
例4．设
，
，
．求证：
．
分析：条件恒等式的证明，要注意观察条件和结论之间的差异．主要是看角，看函数的名称、次数．对于本题，从角的差异入手，将角变形为 
，
，从已知条件变形入手，可证得结论．
证明：由 ，得
，
整理，得 
．
为 ，
，将上式两边同除以
，得
．
小结：证明条件恒等式，一般有两种方法，即推出法与代入法，无论使用哪一种思路都要盯住目标，据果变形．若用推出法，则应盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况(一般要看角、函数名称、次数)，采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标．若用代入法，就要盯住作为目标的被证等式的一边，根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形，先创造机会，然后代入条件，最终推出目标．
例5．如图，在某点
处测得建筑物
的顶端
的仰角为
，沿
方向前进30米至点 
处测得顶端
的仰角为
，再继续前进
米至
点，测得顶端仰角为
，求
的大小和建筑物
的高．
分析：根据题意结合图形观察给出各数据间的关系，将题目数学化，抽象为纯数学问题．
解：由已知， 
米，
米
在 
△ 
中，
，
在 △ 
中，
∴ 
，同理可得：
于是： 
即
而 
∴ 
，
∴ 
米
于是： ，建筑物高为15米．
小结：这是一个三角函数在测量方面的应用问题，在解决过程中运用了几何知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用．
扩展资料
有趣的米勒问题
米勒(Johannes Miiller)，德国数学家，曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学，1468年至1471年在维也纳大学任教授，1471年定居纽伦堡，从事天文学研究，米勒对三角学做出了贡献．大约在1461至1464年间，他写成《论三角》书，书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表，相当精确．他的这些工作使三角学脱离文学而成为一门独立的学科．另外，米勒在研究几何时采用了代数方法，这在当时是别具一格的．
1471年，米勒向诺德尔(Christian Roder)教授提出以下十分有趣的问题：
在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？(即在什么部位，可见角为最大？)
在米勒的家乡哥尼斯堡，这个问题称为雷奇奥莫塔努斯(Reqiomontanus)的极大值问题．该问题本身并不难，然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目．
下面这个简明解法是罗斯(Ad·Lorsch)给出的．
如图1，设 为杆的上端点，
为杆的下端点．
垂直于地平面，垂足记为
，于是线段长
，
均为已知，以
为中心在地球表面上画的圆上的所有对
的视角都相等．因此，我们只需过
任作一条垂直于
的直线
并在这条水平地沿着地球表面的线上找出这样的点
，使得在这点的可见角
最大．
△ 
的外接圆
必与
相切干
点．事实上，若
不与圆
相切，则除
点儿圆
与
还有另一个公共点
，而对于线段
的中点
而言，
是圆
的圆内角，这时，
，这就与
是最大可见角矛盾．
设过 的圆
与直线
相切于点
，则
取得最大值．这是因为对
上异于
的任一点
而言，
是圆
的圆外角，所以
．
点的位置可以这样来确定，根据切割线定理， 
，即有
．
从而，我们得出结论：以是杆与地面垂直的垂足为圆心，以是杆两端到地面距离的乘积的算术根为半径，在地球表面上画圆，该圆周上的点对悬杆的视角为最大．
1986年全国高考数学试题理科第五大题其实就是“米勒问题”：
如图2，在平面直角坐标系中，在 
轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点
，
．试在
轴的正半轴(坐标原点除外)上求点
，使
取得最大值．
下面，我们运用高中数学知识结出这道高考题的一种简洁解法．
解 如图3，设点 的坐标为
，点
的坐标为
，
，
的坐标为
，
，并记
，
，
，则
，且
．
所以 
．
因此，当 
，即
时，
取得最大值
．
因为在 
内
是增函数，所以当
时，
取得最大值
．故所求的
点坐标为
．
更一般的“米勒问题”(解略)是：
在已知直线 的同侧有
，
两点，试在
上求一点
，使
最大．
将此问题特殊化，便可得到1984年西安市中学生数学竞赛试题：
在直线 上求点
(如图3)，使 对线段
有最大视角，证明你的结论．
(原载《数学通讯》2000年第22期，宋庆文)
习题精选
“如图1，是一块以点 
辟为绿地，使其一边
落在半圆的直径上，另两点
，如何选择关于点
，则
，
，所以
可以用
∵ 
∴ 
当 
时，
即 
，
这时 
，
答：点 
处时
．
变式：把一段半径为 
；(2) 
；
(3) 
．
思考，讨论．
我们知道公式 
来替换
即 
的值已知，
以上两式相除又得：
这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由 
．
分析：从例1引出例2， 
∴ 
，求
，
，
．
解： 
说明：①例1中(1)、(2)两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍．习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”，
②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的．
练习(投影)
1．已知： 
(
)，
求：(1) 
；(2) 
，求：
的值．
3．求： 
的值．
∴
又∵ 
∴ 
∴ 
2．∵ 
原式 
(3) 
另解：设 
……………………①
……………………②
①+②得 
…………………………③
①－②得 
……④
③+④得 
∴ 
4．总结提炼
(1)本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于