(五)板书设计

课题 1．正、余弦函数线 2．作点 3．作 ， 的图像 4．五点法作正弦函数图像

5．变换法作 的图像 6．五点法作余弦函数图像 7．例题 (1) (2) 演练反馈

总结提炼

教学设计示例

4.8　 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时)

(二)教学目标

　1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．

　2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线．

　3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．

(一)教学具准备

　直尺、圆规、投影仪．

参考答案： 1．A　 2．C　 3．C　 4．C　 5．A　 6．D　 7．C　 8．C　 9．C　 10．A　 11．B

12． 　 13． 　 14．－1　 15．2

16．原式

　 　 ．

17．

同理 ，

　又

　 ，

　于是原式 ．

18．∵△ ， 　∴ ． 　∴ ， 　　 ． 　又由 知 ， ， 　∴ ． 19．(1) ， ， 　∴左边展开再化正切，即得． 　(2)∵ ， ， 　　∴ ． 　　∴ ．

4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质

教学目标

　1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；

　2.了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin(ωx+ψ)的周期，了解奇偶函数的意义，能判断函数的奇偶性；

　3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力；

　4.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；

　5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想.

教学建议

知识结构：

重点与难点分析：

　本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性)．正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛，函数的图像和性质是应用的重要基础，也是解决三角函数的综合问题的基础，它能较好的综合三角变换的所有内容，可进一步深入研究其它函数的相关性质．函数图像可以直观的反映函数的性质，因此首先要掌握好函数图像形状特点，使学生将数、形结合对照掌握这两个函数．

　本节难点是利用正弦线画出函数 的图像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解．利用几何法画函数图像学生第一次接触，要先复习正弦线的做法，另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角．通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系，利用诱导公式时先将 为了只需要平移就可得到余弦函数．周期函数包含的内容较多，可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解，再通过定义严格说明，定义中x的任意性可与奇偶性的定义对比讲解，周期、最小正周期的概念很抽象，学生理解有些困难，最好将定义分解讲解．

教法建议：

　1．讲三角函数图象时，由于描点法学生比较熟悉，可以先让学生自己作图，然后介绍几何法，这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解，为后面“五点法”作图奠定基础，又可将两种方法加以对比．

　2．用几何法作函数 的图像前，首先复习函数线的作法，说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系，作图过程要力求准确，以便学生正确认识曲线的建立过程．此处最好借助多媒体课件演示，表现的既准确又节省时间．得到函数 的图像，利用诱导公式或利用三角函数线，把图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π(即一个最小正周期)，即可得到函数y=sinx，x∈R的图像．余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系，但要将x前面的系数保证为正，这样只需要平移即可得到余弦函数的图像．余弦函数的图像的几何作法可让学生课后自己去探索．

　3．“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛，让学生观察函数 的图像，有五个点在确定图象形状时起着关键的作用，即最高点，最低点以及与x轴的交点，因为只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用先描出这五个点来作函数简图的方法．适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法．

　4．对于函数的周期性，先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点，让学生对周期有直观的认识，周期函数的定义也可叙述为：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数．然后再给出严格定义．将定义的分解讲解，使学生理解定义包含的要素，关键词语，如“如果存在”说明不是所有函数都有周期，“T”要满足“非零”和“常数”两个条件，当x取定义域内的每一个值时”这一提法，这里要特别注意“每一个值”四个字．如果函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如 ，但是 ，就是说 不能对于x在定义域内的每一个值都有 ，因此 不是 的周期．最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析．另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解，对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的：

如果函数f(x)对于定义域里的每一个值，都有

　(1)f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函数；

　(2)f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数；

　(3)f(x+T)=f(x)，其中T是不为零的常数，那么f(x)叫做周期函数．

　对 函数的周期，要让学生从周期定义上理解：周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数，这个数是针对x而言的，如果对2x而言，而每增加2π，sin2x的值就重复出现；但对自变量x而言，每增加π，sin2x的值就能重复出现，因此sin2x的周期是π．如果不设辅助未知数，本例的解答可写为：

　f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，

　即f(x)中的x以x+π代替，函数值不变，所以sin2x的周期为π．由此可知，三角函数的周期与自变量x的系数有关．

　5．让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出，使学生在函数图像和性质建立对应关系，这对学生进一步掌握函数y=sinx，y=cosx的性质有很大帮助．因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线．

　6．要注意数学语言和数学方法的训练，如“必须并且只需”，正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1等．

教学设计示例

4.8　 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)

11．化简 的值为(　　　 ) 　A．　　B．　C．　D．

10．设 ，， ，则(　　　 ) 　A．　B． 　C．　D． 、 、 互不相等

9．若 ，则 等于(　　　 ) 　A． 　B．　C． 　D．

8．如果 ， ，则 的值为(　　　 ) 　A．　B．　C．　D．

7． 的值为(　　　 ) 　A．1　 B．　　C．2　D．4