[名师点睛]函数零点的概念对于函数y=f=0的实数x叫做函数y=f=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f(x)在——青夏教育精英家教网—

[名师点睛]函数零点的概念对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

[试题演练]

1、函数的零点所在的区间是

　　 A．　　　　　 B．(1，10)　　　 C．　　　 D．

解：因为f(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－＞0，即f(1)•f(10)＜0，所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。

［点评］：如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)•f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。

2、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数；(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

[解析]：(Ⅰ)设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，，于是有，所以．

(Ⅱ)根据(Ⅰ)，我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

[名师点睛]函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

[试题演练]

1、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=)

[解析]：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.

(一) 函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.

(二 )特殊化方法

1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等2、在求函数值时，可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.

[试题演练]

1、定义在上的函数满足()，，则等于(　　 )

A．2　　　 B．3　　　　 C．6　　　　 D．9

解：令，令；

令得

2、

解:

3、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在

(0,+∞)上的单调性,并说明理由.

解:

所以f(x₁)>f(x₂),故f(x)在R⁺上为减函数

4、设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.

f(x)=f[(x-x_o)+x_o]=f(x-x_o)f(x_o)=0,与已知矛盾，故f(x)>0任取x₁,x₂∈R且x₁<x₂,则x₂-x₁>0,f(x₂-x₁)>1,所以f(x₁)-f(x₂)=f[(x₂-x₁)+x₁]-f(x₁)=f(x₂-x₁)f(x₁)-f(x₁)=f(x₁)[f(x₂-x₁)-1]>0.所以x∈R时,f(x)为增函数. 解得:{x|1<x<2}

(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)]²+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5(舍)由(1)得x=0.

[名师点睛]

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题.

2、设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点　　　 .