5、利用不等式单调性求最值。

思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。

4、图象法，解决形如型的函数。

例4、P(66)　 求函数的最大值和最小值.。

思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。

例5、设，若方程有两解，求的取值范围。

解：

要使两函数图象有交点(如图)，

则。

[思维点拨]：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则的范围又该怎样呢？

3、换元法解决同时出现的题型。

例3：求函数的最小值。

解：

令，则

，

所以当时，

[思维点拨]：遇到与相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值范围是，以保证函数间的等价转化。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2　 P(66)

解:

,y有最小值,无最大值.

练习:是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。

解：

当时，，令则，

综上知，存在符合题意。

思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：P(66)　 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若,求bsinx +acosx 的最大值.

练习: 求函数的最值，并求取得最值时的值。

解：

=

∴当即时，取得最大值，

当即时，取得最小值，。

思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。

问题讨论

例1．给出下列命题，其中正确的是

(1)弧度角与实数之间建立了一一对应(2)终边相同的角必相等

(3)锐角必是第一象限角　　　　　 　(4)小于90⁰的角是锐角

(5)第二象限的角必大于第一象限角

A (1)　　 B (1)(2)(5)　 C(3)(4)(5)　 D(1)(3)

[思维点拨]正确理解角：“间的角”指的是：；“第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这三种角的集合分别表示为：

，，。

例2：已知α是第二象限的角

(1) 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；4

(2) 若α同时满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间。

　解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π(k∈Z)

(1) 以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2(k∈Z)，若k为偶数，则α/2是第一象限的角；若k为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示(不含边界)

(2) 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，即α∈(2kπ+π/2，2kπ+π)

∩[－6，2]，结合数轴不难知道，α∈(－3π/2，－π)∪(π/2，2。

[思维点拨]除象限角、终边相同的角以外，还要注意理解区间角的概

念，并能掌握好α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。

例2：(1)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，

终边经过点，求的值.

　(2)已知角β的终边在直线y=x上，用三角函数的定义求sinβ与cot

β的值。

解：(1)由已知可得r=|OP|=，所以sinα=，cosα=。从而sin2α=2sinαcosα=，cos2α= cos²α-sin²α=，故=sin2αcos+cos2αsin=。

　 (2)设P(a，a)，(a≠0)是角β终边=x上一点，则cotβ=。

　　　 若a＜0，则β是第三象限的角，r＝－2a，此时sinβ=；

　　　 若a＞0，则β是第一象限的角，r＝2a，此时sinβ=；

　[思维点拨]1)注意用三角函数的定义解题；2)有参数时应分类讨论。

例3：(1)确定lg(cos6－sin6)的符号；

　　 (2)若+=0，判断cos(sinα)•sin(cosα)的符号。

　解：(1)∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；

∵(cos6－sin6)²=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg(cos6－sin6)＞0

(2)由题意可得=0，∴sinα•cosα＜0，故α在第二或第四象限。

①　　 若α在第二象限，则0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos(sinα)＞0，

sin(cosα)＜0；∴原式＜0。

②　　 若α在第四象限，则-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos(sinα)＞0，

sin(cosα)＞0；∴原式＞0。

　[思维点拨]判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成用度来表示。

例4：P(51_)例1:(1)若是第二象限的角,则 的符号是什么?

(2) 已知，，求的范围。

　 解：设2α-β=A(α+β)+B(α-β)，(A，B为待定系数)，则2α-β=(A+B)α+(A-B)β。比较两边的系数得A=，B=；∴2α-β=(α+β)+(α-β)，从而可求得－π＜2α－β＜π／6。

[思维点拨]解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。

(备用)例5：(1)已知，求的值。

　　 (2)已知sinβ=，sin(α+β)=1，求sin(2α+β)的值。

　 解：(1)条件中的表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，所以f(1)+f(2)+…+f(10)=0；f(11)+f(12)+…+f(20)=0；…；f(1991)+f(1992)+…+f(2000)=0；故f(1)+f(2)+…+f(2000)=0。

　　 (2)∵sin(α+β)=1，∴α+β=2kπ+，∴sin(2α+β)= sin[2(α+β)-β]=。

　[思维点拨]分组考虑与整体代入是常用的技巧。

课堂小结：

2．　 定义域，值域。三角函数值在每个象限的符号。

1．　 定义：设是任意大小的角。角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，那么角的6个三角函数分别为：(略)

8．弧长公式，扇形的面积公式：，。

㈡任意角的三角函数

7．弧度与角度的换算：180⁰=π(弧度)，1弧度=(180/π)⁰≈57⁰18＇。