10．(2010年高考陕西卷理科16)(本小题满分12分)

已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列.

求数列的通项;　　　　 求数列的前n项和

解由题设知公差

由成等比数列得

解得(舍去)

故的通项

,

由等比数列前n项和公式得

9. (2010年全国高考宁夏卷17)(本小题满分12分)

设数列满足

(1)　　　 求数列的通项公式；

(2)　　　 令，求数列的前n项和

(17)解：

(Ⅰ)由已知，当n≥1时，

。

而

所以数列{}的通项公式为。

(Ⅱ)由知

　　　 ①

从而

　　　 　②

①-②得

　　　 　。

即　　

8．(2010年高考江苏卷试题19)(本小题满分16分)

设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。

(1)求数列的通项公式(用表示)；

(2)设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

(1)由题意知：，

，

化简，得：

，

当时，，适合情形。

故所求

(2)(方法一)

， 恒成立。

　 又，，

故，即的最大值为。

(方法二)由及，得，。

于是，对满足题设的，，有

。

所以的最大值。

另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。

于是，只要，即当时，。

所以满足条件的，从而。

因此的最大值为。

7．(2010年高考四川卷理科21)(本小题满分12分)

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意m、n∈N^*都有

a_2m－1+a_2n－1＝2a_m+n－1+2(m－n)²

(Ⅰ)求a₃，a₅；

(Ⅱ)设b_n＝a_2n+1－a_2n－1(n∈N^*)，证明：{b_n}是等差数列；

(Ⅲ)设c_n＝(a_n+1－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

6. (22)( 2010年高考全国卷I理科22)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知数列中， .

(Ⅰ)设，求数列的通项公式；

(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围 .

[命题意图]本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

[解析]

(Ⅱ)

用数学归纳法证明：当时.

(ⅰ)当时，，命题成立；

5. (2010年高考安徽卷理科20)(本小题满分12分)

　　 设数列中的每一项都不为0。

　　 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有

。

4. (2010年高考湖南卷理科21)

(Ⅱ)是否存在

[解析]易知

令

　(1)

故在

(2)

(3)

3. (2010年高考数学湖北卷理科20) (本小题满分13分)

已知数列满足: ,　 , ；数列满足： =-(n≥1).

(Ⅰ)求数列，的通项公式;

(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.

2. (22)(2010年高考天津卷理科22)(本小题满分14分)

在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。

(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列()；

(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为.

　(i)设1.证明是等差数列；

　(ii)若，证明

[命题意图]本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

[解析](Ⅰ)证明：由题设，可得。

所以

=

=2k(k+1)

由=0，得

于是。

所以成等比数列。

(Ⅱ)证法一：(i)证明：由成等差数列，及成等比数列，得

当≠1时，可知≠1，k

从而

所以是等差数列，公差为1。

(Ⅱ)证明：，，可得，从而=1.由(Ⅰ)有

所以

因此，

以下分两种情况进行讨论：

(1)　　　 当n为偶数时，设n=2m()

若m=1,则.

若m≥2，则

+

所以

(2)当n为奇数时，设n=2m+1()

所以从而···

综合(1)(2)可知，对任意,,有

证法二：(i)证明：由题设，可得

所以

由可知。可得，

所以是等差数列，公差为1。

(ii)证明：因为所以。

所以，从而，。于是，由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。

从而。

所以，由，可得

。

于是，由(i)可知

以下同证法一。

1．(2010年高考山东卷理科18)(本小题满分12分)

已知等差数列满足：，，的前n项和为．

(Ⅰ)求及；

(Ⅱ)令b_n=(nN^*)，求数列的前n项和．

[解析](Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，

所以；==。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，所以b_n===，

所以==，

即数列的前n项和=。

[命题意图]本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。