摘要： (22)(2010年高考天津卷理科22) 在数列中..且对任意.成等差数列.其公差为. (Ⅰ)若=2k.证明成等比数列(), (Ⅱ)若对任意.成等比数列.其公比为. (i)设1.证明是等差数列, (ii)若.证明 [命题意图]本小题主要考查等差数列的定义及通项公式.前n项和公式.等比数列的定义.数列求和等基础知识.考查运算能力.推理论证能力.综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. [解析](Ⅰ)证明:由题设.可得. 所以 = =2k(k+1) 由=0.得 于是. 所以成等比数列. 证明:由成等差数列.及成等比数列.得 当≠1时.可知≠1.k 从而 所以是等差数列.公差为1. (Ⅱ)证明:..可得.从而=1.由(Ⅰ)有 所以 因此. 以下分两种情况进行讨论: (1) 当n为偶数时.设n=2m() 若m=1,则. 若m≥2.则 + 所以 (2)当n为奇数时.设n=2m+1() 所以从而··· 综合可知.对任意,,有 证法二:(i)证明:由题设.可得 所以 由可知.可得. 所以是等差数列.公差为1. (ii)证明:因为所以. 所以.从而..于是.由(i)可知所以是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= .故. 从而. 所以.由.可得 . 于是.由(i)可知 以下同证法一.

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