例6　 已知关于x的一次函数y＝mx+3n和反比例函数的图象都经过点(1，－2)．求：

(1)一次函数和反比例函数的解析式；

(2)两个函数图象的另一个交点的坐标．

解析：(1)∵两函数图象都过点(1，－2)，

∴一次函数的解析式为y＝4x－6，

(2)根据题意，列出方程组

_评注：

(1，－2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解．

(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？

(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？

消去y，得x²－6x+k＝0．

∵Δ＝36－4k＞0，∴k＜9．

当k＜9且k≠0时，方程x²－6x+k＝0有两个不相等的非零实数解．

∴k＜9且k≠0时，两函数图象有两个公共点．

(2)∵y＝－x+6的图象过第一，二，四象限，

∴0＜k＜9时，双曲线两支分别在第一、三象限．由此知两公共点

A，B在第一象限，此时∠AOB是锐角．

k＜0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角．

(1)求m的值；

(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt△OEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式；

l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴相交于点C，

若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由．

(2)作AM⊥x轴于M．

∵A点是Rt△OEF的外心，

∴EA＝FA．

由AM∥y轴有OM＝ME．

∴OF＝2OM．

∵MA＝2，∴OF＝4．

∴F点的坐标为(0，4)．

设l：y＝kx+b，则有

∴C点坐标为(0，1)．

设B点坐标为(x₁，y₁，)，则

x₁y₁＝3．

设P点坐标为(0，y)，满足S_△PCA＝S_△BOK．

①当点P在C点上方时，y＞1，有

∴y＝3．

②当点P在C点下方时，y＜1，有

∴y＝－2．

综上知，在y轴存在点P(0，3)与(0，－2)，使得S_△PAC＝S_△BOK．

评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：

(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式．

(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．

(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定．

上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，连结OC，OD．

析式．

证明：(1)如图13－33过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y₁，OG＝x₁．

∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，

解(2)：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α，

解之，得x₁＝±1．

∵负值不合题意，∴x₁＝1，y₁＝3．

∴点C的坐标为(1，3)，

过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH＝y₂，OH＝x₂．

解之得y₂＝±1．

∵负值不合题意，∴y₂＝1，x₂＝3．

∴点D的坐标为(3，1)．

设直线CD的解析式为y＝kx+b．

∴直线CD的解析式为y＝－x+4．

例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线 在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。

(1)求点P的坐标；(2)略。

析解：在中，令，则；令，则。

所以点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(0，1)。

因为点P的直线上，

不妨设点P的坐标为

所以。

又因为

所以

整理得

即

解得

因为点P在第一象限，所以。

故点P的坐标为(2，2)。

评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。

例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为(　 )

A. 8　　　　　　　 B. 6　　　　　　　 C. 4　　　　　　　 D. 2

解析：把代入，得

整理得

解得

把分别代入

，

得

所以点A的坐标为

点B的坐标为

由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为()。

因为，

所以的面积为

故应选A。

例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为(　　 )

A. 2　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.

析解：把代入，得，

整理得，解得

得分别代入

得

又点A在第一象限内，所以点A的坐标为

在中

由勾股定理，得所以OB=2。

所以的面积为

，

故应选(C)

评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。

例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A(1，2)，且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。

解析：因为双曲线过点A(1，2)，

所以

得双曲线的解析式为。

因为AD垂直平分OB，A点的坐标为(1，2)。所以B点的坐标为(2，0)。

因为过点A(1，2)和B(2，0)，

所以

解得

所以直线的解析式为

评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为(1，0)，又AD平分OB知，，所以点B坐标为(2，0)，进而求出一次函数解析式。

例1. 已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是(　 )

A. 　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　 D.

分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数 在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。

评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。

例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　 D.

图2

分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。

评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。

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2007-2008学年度第一学期期末测试七年级数学练习卷(二)

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28．

26．

(3) 点C到直线AB的距离为　　　　 ．

25．

16．　　　　　　　　　　　　　　 ．　　　　　　 17．　　　　　 ．　 　18．　　　　 ．