6．若凸多边形的n个内角与某一个外角之和是1125°，求n．

5．一个17边形除了一个内角之外，其余各内角之和为2570°，求这一个角．

4．若一个多边形的内角都相等，它的一个内角与它相邻的外角的差为100°，求这个多边形的边数．

3．若一个多边形的每个内角都等于120°，则它是几边形？

2．若一个多边形的每个外角都等于20°，则它是几边形？

1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则它是几边形？有几条对角线？

2．由已知角度求n边形边数的方法．

　[讲一讲]

　几何：

　例1 求证：6边形的内角和为720°

　分析：可以将6边形分割成几个三角形，求出三角形的内角和

　证明：连AC、AD、AE

　∵　 △ABC，△ADE，△ACD与△AEF的内角和均为180°

　∴　 六边形ABCDEF的内角和为4×180°＝720°

　例2 求证：n边形的对角线有条．

　分析解答：先来看四边形，对角线如图2条，再看五边形，对角线有5条线如图，六边形对角线有9条，如图即从一个顶点，可以作(n－3)条对角线n－3是由于A点与本身不能作对角线，与A相邻的点即A的边线为边不是对角线，因此只能作(n－3)条．

　又一个多边形有n个顶点，因此可作n(n－3)条．

　但又如，AC与CA是同一条对有线，故每条都重复了两次所以一个n边形有条对角线．

　例3 一个正多边形，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数．

　分析：利用多边形外角和与内角和定理，及一个外角与内角的关系，可求：由于此多边形为正多边形每个内角都相等，每个外角也都相等．

　解：设它的一个内角为，则外角为

　∴　 　∴　

　∴　 它的外角为

　∵　 多边形的外角和为360°这又是一个正多边形

　∴　 这个多边形为5边形．

　例4 如果凸多边形的边数增加一条，则它的内角和增加多少? 外角和呢？请你证明你的结论

　分析及解答：由多边形内角和定理：n边形的内角和为

　(n+1)边形的内角和为

　∴　

　∴　 它的内角和增加180°，而由于多边形外角和均为360°，所以当边数增加一条时外角和不变，仍为360°．

　[同步达纲练习]

　几何：

3．多边形的内角和与外角和定理：

　(1)几边形：平面内n(n≥3)条线段首尾顺次相接，如果其中任何两条线段都不在同一直线上，所组成的图形叫做n边形．

　(2)多边形内角和定理：n边形内角和等于(n－2)·180°，(n≥3，n为自然数)

　(3)多边形外角和定理：n边形外角和等于360°(n≥3，n为自然数)

　难点：1．多边形内角和，外角和定理证明的方法，递推．

2．四边形的内角和与外角和定理，

　四边形内角和与外角和都等于360°．

31.100º 11边形