数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{

n

(pn+q)Sn

}是等差数列（pq≠0），求证：

p

q

是常数．

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其公比q是方程2x²+3x+1=0的根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（Ⅱ）当q≠-1时，设

1

bn

=log

1

2

|an+2|，若b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

在数列{a_n}中，a₁=1，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成首项为2且公比为q（q＞0）的等比数列．
（1）当q=1时，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）若q=2，求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）令bn=

an+1

an

，若对任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n，求q的取值范围．

已知数列{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1（q＞0，且q为常数），某同学得出如下三个结论：
①{a_n}的通项是a_n=（q-1）•q^n-1；
②{a_n}是等比数列；
③当q≠1时，S_nS_n+2＜S

2 n

+1．
其中正确结论的个数为（　　）

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其公比q是方程2x²+3x+1=0的根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（Ⅱ）当q≠-1时，设

1

bn

=log

1

2

|an+2|，若b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．