Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其公比q是方程2x²+3x+1=0的根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（Ⅱ）当q≠-1时，设

1

bn

=log

1

2

|an+2|，若b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出方程2x²+3x+1=0的两个根，然后分别求出数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n即可；
（II）先求出b_n的通项公式，然后根据数列的特点，利用裂项求和法求出b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1的和，欲使b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，则使λ≤[

n

2(n+2)

]min，n∈N^*．
法一易知

1

2

-

1

n+2

在n∈N^*上单调递减，求出

1

2

-

1

n+2

的最小值即可求出λ的取值范围，
法二令f(x)=

x

2(x+2)

，利用导数法求出函数的最小值即可求出实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为q是方程2x²+3x+1=0的根，可得q=-

1

2

或q=-1．
当q=-

1

2

时，an=(-

1

2

)n-1，Sn=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

=

2

3

[1-(-

1

2

)n]．
当q=-1时，a_n=（-1）^n-1，Sn=

1   当n为奇数时 0   当n为偶数时

．
（Ⅱ）当q≠-1时，an=(-

1

2

)n-1，
由

1

bn

=log

1

2

|an+2|=log

1

2

|(-

1

2

)n+1|=n+1，得bn=

1

n+1

．
∴bnbn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
因为b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，
所以λ≤[

n

2(n+2)

]min，n∈N^*．
法一：易知

1

2

-

1

n+2

在n∈N^*上单调递减，所以，当n=1时，

1

2

-

1

n+2

取最小值

1

6

，所以λ≤

1

6

．
所以λ的取值范围是(-∞，

1

6

]．
法二：令f(x)=

x

2(x+2)

，则f′(x)=

1

(x+2)2

＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f(1)=

1

6

，即

n

2(n+2)

最小值为

1

6

，所以λ≤

1

6

．
所以λ的取值范围是(-∞，

1

6

]．

点评：本题主要考查了数列的通项和求和，以及恒成立问题和利用导数研究最值问题，是一道综合题，属于中档题．