Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{

n

(pn+q)Sn

}是等差数列（pq≠0），求证：

p

q

是常数．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)，整理即可证明
（2）由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1，结合等差数列的通项公式即可求解
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差数列，结合等差数列的性质即可证明

解答：（1）证明：由题意得，当n≥1时，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

．…（4分）
（2）解：由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1
可知：数列{

1

Sn

}是以-1为首项，以-

1

2

为公差的等差数列，
可求得：Sn=-

2

n+1

．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差数列，设公差为d．
则-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），
所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以

p

q

=1（常数）．…（13分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列的通项公式求解数列的通项公式及等差数列的通项公式的应用．