Question

在数列{a_n}中，a₁=1，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成首项为2且公比为q（q＞0）的等比数列．
（1）当q=1时，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）若q=2，求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）令bn=

an+1

an

，若对任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n，求q的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当q=1时，由题意得，a_n+1-a_n=2（常数），根据等差数列的定义可作出判断；
（2）当q=2时，a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加法可求得a_n，先分组求和，再用错位相减法可求得S_n；
（3）当q=1时，易判断；当q≠1时，an+1-an=2qn-1（q＞0），利用累加法可求得a_n，从而可表示出b_n，b_n+1，由b_n+1＜b_n可得q的范围；

解答：解：（1）当q=1时，由题意得，a_n+1-a_n=2（常数），
又a₁=1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）当q=2时，a_n+1-a_n=2ⁿ，
则n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，
当n=1时，a₁=1适合上式，
所以an=2n-1（n∈N*），
则S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n
=（2-1）+2×（2²-1）+3×（2³-1）+…+n（2ⁿ-1）
=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令T=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
则2T=2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
相减得，-T=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

；
（3）当q=1时，由（1）得a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
bn=

an+1

an

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

，bn+1=

2n+3

2n+1

=1+

2

2n+1

，
满足b_n+1＜b_n；
当q≠1时，an+1-an=2qn-1（q＞0），
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2q+…+2q^n-2=1+2•

1-qn-1

1-q

=

3-q-2qn-1

1-q

（n≥2），
n=1时，a₁=1适合，
所以a_n=

3-q-2qn-1

1-q

，bn=

an+1

an

=

3-q-2qn

3-q-2qn-1

，
∵b_n+1＜b_n，∴

3-q-2qn+1

3-q-2qn

＜

3-q-2qn

3-q-2qn-1

，解得0＜q＜3，且q≠1，
综上，0＜q＜3．

点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大．