Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1（q＞0，且q为常数），某同学得出如下三个结论：
①{a_n}的通项是a_n=（q-1）•q^n-1；
②{a_n}是等比数列；
③当q≠1时，S_nS_n+2＜S

2 n

+1．
其中正确结论的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先根据a_n与S_n的关系式求出a_n，可判断①的正确性；举反例可判断②的正确性；作差可判断③的正确性；

解答：解：a_n=S_n-S_n-1=（qⁿ-1）-（q^n-1-1）（n≥2），即an=(q-1)qn-1(n≥2)，
而a₁=S₁=q-1，得a_n=（q-1）q^n-1（n≥1），①正确；
当q=1时，{a_n}不是等比数列，②错误；
当q≠1时，令t=S_nS_n+2-Sn+12=（qⁿ-1）（qⁿ⁺²-1）-（qⁿ⁺¹-1）²，则t=-qⁿ（q-1）²，显然，t＜0，即S_nS_n+2＜Sn+12，③正确；
故选C．

点评：本题以命题为载体考查等差、等比数列的有关知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．