等比数列1，

1

2

，

1

4

，

1

8

，…所有项和为______．

等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=5•2^2n-1，n∈N^*，数列{a_n}满足a_n=log₂c_n
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n 的值；若不存在，请说明理由．