摘要：方程.不等式.函数的类型的确定 例1．至少有一个正的实根的充要条件是 ( ) A． B． C． D． 分析:先确定方程的类型.需要按的取值分类.对于二次方程研究根的情况.一般要转化为二次函数和二次不等式(组)解出. 解:当时.方程为.满足.当时.至少有一个正的实根.设.当时.∵.∴一定有一个正的实根,当时.∵.∴即.综上.故选B 答案:B 评注:对于函数.方程.不等式问题.要先判断其类型.而对于二次函数.二次方程.二次不等式之间常常相互转化.并借助函数的图象.得到方程或不等式(组)解出. 例2．已知函数． (1)当时.证明函数只有一个零点, (2)若函数在区间上是减函数.求实数的取值范围． 分析:要证此类函数只有一个零点.就要通过求导.研究函数的单调性.求导后由于函数中含有参数.那么它的导数要与参数的取值有关.所以单调性的判断要随参数的变化而变化.需要对其去值进行分类讨论. 解:(1)当时..其定义域是. 令.即. 解得或． .舍去． 当时.,当时.． ∴函数在区间上单调递增.在区间上单调递减 ∴当时.函数取得最大值.其值为． 当时..即． ∴函数只有一个零点． (2)法一:因为其定义域为. 所以 ①当时.在区间上为增函数.不合题意 ②当时.等价于.即． 此时的单调递减区间为．依题意.得解之得． ③当时.等价于.即· 此时的单调递减区间为.得 综上.实数的取值范围是 法二: 由在区间上是减函数.可得在区间上恒成立． ① 当时.不合题意 ② 当时.可得即 评注:对于函数.不等式.方程的类型不确定时.就要对其参数进行讨论.而对于二次不等式恒成立问题可以借助的图象进行分类转化.

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