Question

（本题12分）已知函数，其中．

   （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

   （Ⅱ）讨论函数的单调性；

   （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在，内是增函数，在，（0,）内是减函数;（3）．

【解析】第一问利用，由导数的几何意义得，

    由切点在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．

    所以函数的解析式为

第二问）．

    当时，显然（）．这时在，内是增函数。

    当a>0时，令，解得．

第三问由（Ⅱ）知，对于任意的,在上的最大值为与中的较大者，欲使不等式在上恒成立，当且仅当，即

解：（Ⅰ），由导数的几何意义得，

    由切点在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．

    所以函数的解析式为．                            

   （Ⅱ）．

    当时，显然（）．这时在，内是增函数。

    当a>0时，令，解得．

    当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

    所以在，内是增函数，在，（0,）内是减函数．

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对于任意的,在上的最大值为与中的较大者，欲使不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．       从而得，所以满足条件的b的取值范围是．