摘要：22．已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点.且f(x)＝x2-x+b.数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式, (2)若数列{bn}满足an+log3n＝log3bn.求数列{bn}的前n项和Tn, (3)设Pn＝a1+a4+a7+-+a3n-2.Qn＝a10+a12+a14+-+a2n+8.其中n∈N*.试比较Pn与Qn的大小.并证明你的结论． 解:(1)因为y＝f(x)的图象过原点.所以f(x)＝x2-x. 所以Sn＝n2-n. 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1＝n2-n-(n-1)2+(n-1)＝2n-2. 又因为a1＝S1＝0适合an＝2n-2. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n-2(n∈N*)． (2)由an+log3n＝log3bn得:bn＝n·3an＝n·32n-2(n∈N*). 所以Tn＝b1+b2+b3+-+bn＝30+2·32+3·34+-+n·32n-2.9Tn＝32+2·34+3·36+-+n·32n. 两式相减得:8Tn＝n·32n-(1+32+34+36+-+32n-2)＝n·32n-. 所以Tn＝-＝. (3)a1.a4.a7.-.a3n-2组成以0为首项.6为公差的等差数列.所以Pn＝×6＝3n2-3n, a10.a12.a14.-.a2n+8组成以18为首项.4为公差的等差数列.所以Qn＝18n+×4＝2n2+16n. 故Pn-Qn＝3n2-3n-2n2-16n＝n2-19n＝n(n-19). 所以.对于正整数n.当n≥20时.Pn>Qn, 当n＝19时.Pn＝Qn, 当n<19时.Pn<Qn. 已知数列{an}的前n项和为Sn.点(an+2.Sn+1)在直线y＝4x-5上.其中n∈N*.令bn＝an+1-2an.且a1＝1. (1)求数列{bn}的通项公式, (2)若f(x)＝b1x+b2x2+b3x3+-+bnxn.求f′(1)的表达式.并比较f′(1)与8n2-4n的大小． 解:(1)∵Sn+1＝4(an+2)-5.∴Sn+1＝4an+3. ∴Sn＝4an-1+3(n≥2). ∴an+1＝4an-4an-1(n≥2). ∴an+1-2an＝2(an-2an-1)(n≥2). ∴＝＝2(n≥2)． ∴数列{bn}为等比数列.其公比为q＝2.首项b1＝a2-2a1. 而a1+a2＝4a1+3.且a1＝1.∴a2＝6. ∴b1＝6-2＝4. ∴bn＝4×2n-1＝2n+1. (2)∵f(x)＝b1x+b2x2+b3x3+-+bnxn. ∴f′(x)＝b1+2b2x+3b3x2+-+nbnxn-1. ∴f′(1)＝b1+2b2+3b3+-+nbn. ∴f′(1)＝22+2·23+3·24+-+n·2n+1. ① ∴2f′(1)＝23+2·24+3·25+-+n·2n+2. ② ①-②得 -f′(1)＝22+23+24+-+2n+1-n·2n+2 ＝-n·2n+2＝-4(1-2n)-n·2n+2. ∴f′(1)＝4+(n-1)·2n+2. ∴f′(1)-(8n2-4n)＝4(n-1)·2n-4(2n2-n-1) ＝4(n-1)[2n-(2n+1)]． 当n＝1时.f′(1)＝8n2-4n, 当n＝2时.f′(1)-(8n2-4n)＝4(4-5)＝-4<0.f′(1)<8n2-4n, 当n＝3时.f′(1)-(8n2-4n)>0. 结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x+1的图象知.当x>3时.总有2x>2x+1. 故当n≥3时.总有f′(1)>8n2-4n. 综上:当n＝1时.f′(1)＝8n2-4n, 当n＝2时.f′(1)<8n2-4n, 当n≥3时.f′(1)>8n2-4n.

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