已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短轴长为2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是椭圆上一点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线PA，PB的斜率之积为-

1

4

．
（1）求椭圆的方程；
（2）当∠F₁PF₂为钝角时，求P点横坐标的取值范围；
（3）设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，M、N是椭圆右准线l上的两个点，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

（2013•荆门模拟）如图，已知直线OP₁，OP₂为双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线，△P₁OP₂的面积为

27

4

，在双曲线E上存在点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线E的离心率为

13

2

．
（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
（2）求双曲线E的方程；
（3）设双曲线E上的动点M，两焦点F₁、F₂，若∠F₁MF₂为钝角，求M点横坐标x₀的取值范围．

（2012•湘潭模拟）设A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|=；
（2）若θ∈[

π

12

，

π

4

]，则该椭圆离心率的取值范围为．